F.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Un precio que persigue a su equilibrio

Un modelo clásico de ajuste de precios (tâtonnement walrasiano en tiempo continuo) supone que el precio P cambia proporcionalmente a la distancia que lo separa de su nivel de equilibrio P*: dP/dt = k(P* − P), con velocidad de ajuste k=0,3, precio de equilibrio P*=50, y precio inicial P(0)=20 (todos valores ilustrativos). ¿Cómo evoluciona P(t) con el paso del tiempo?

La forma lineal y el factor integrante

Reescribiendo la ecuación en su forma estándar:

dP/dt = k(P* − P) = kP* − kP
dP/dt + kP = kP*

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden: dy/dx + P(x)y = Q(x) (aquí, con t en vez de x). A diferencia de F.1, esta ecuación no es separable de forma directa, P y t no se pueden agrupar cada uno a un lado por una simple división. El método estándar usa un factor integrante μ(t) = e^(∫k dt) = e^(kt), elegido específicamente porque multiplica toda la ecuación de forma que el lado izquierdo se convierte en la derivada de un producto:

e^(kt) · dP/dt + k·e^(kt) · P = k·e^(kt) · P*
d/dt [ P · e^(kt) ] = k·P*·e^(kt)          (el lado izquierdo es, por la regla del producto, exactamente esto)

Con los valores del problema (k=0,3, P*=50, así que kP*=15):

d/dt [ P · e^(0,3t) ] = 15 · e^(0,3t)

Integrando ambos lados y aplicando la condición inicial

Integrando ambos lados respecto a t:

P · e^(0,3t) = ∫ 15 · e^(0,3t) dt = 15 · (1/0,3) · e^(0,3t) + C = 50 · e^(0,3t) + C

Despejando P, dividiendo ambos lados entre e^(0,3t):

P(t) = 50 + C · e^(-0,3t)

Aplicando la condición inicial P(0)=20:

P(0) = 50 + C · e^0 = 50 + C = 20
C = 20 − 50 = -30

La solución particular es:

P(t) = 50 − 30 · e^(-0,3t)

A medida que t crece, e^(-0,3t) se acerca a cero, así que P(t) se acerca a 50, el precio de equilibrio, sin nunca cruzarlo ni oscilar: convergencia monótona al equilibrio, coherente con el modelo económico de ajuste gradual de precios. Evaluando en t=5: P(5) = 50 − 30·e^(-1,5) ≈ 50 − 30×0,2231 ≈ 43,31.

Preguntas para pensar

• Esta ecuación específica (dP/dt=k(P*-P)) también podría resolverse por separación de variables, como en F.1. ¿Por qué crees que igual conviene conocer el método del factor integrante, en vez de usar siempre separación de variables?
• Si la velocidad de ajuste k fuera mayor (por ejemplo, k=1 en vez de 0,3), ¿cómo cambiaría la velocidad con la que P(t) se acerca a su equilibrio? Justifica sin resolver la ecuación de nuevo.
• ¿Qué pasaría con la solución si el precio de equilibrio P* no fuera constante, sino que también cambiara con el tiempo (P*(t))? ¿Seguiría siendo una ecuación lineal de primer orden?