F.1 Ecuaciones diferenciales separables

Una tasa de cambio proporcional al propio valor

Una empresa reinvierte continuamente sus ganancias en su propio capital, de modo que su capital K crece a una tasa proporcional a su tamaño actual: dK/dt = rK, con r=0,05 (5% de crecimiento continuo, ilustrativo) y un capital inicial K(0) = 1.000 (miles de Bs). ¿Cuánto capital tendrá la empresa dentro de 10 años?

Ecuaciones separables: agrupar cada variable a un lado

Una ecuación diferencial separable es una de la forma dy/dx = g(x)·h(y), donde el lado derecho se puede factorizar como el producto de una función que depende solo de x y otra que depende solo de y. El método consiste en "separar" ambas variables, cada una a un lado de la ecuación, y luego integrar cada lado por separado:

dy/dx = g(x)·h(y)
dy/h(y) = g(x) dx                    (dividiendo entre h(y) y multiplicando por dx)
∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx                (integrando ambos lados, cada uno con su propia constante)

La ecuación dK/dt = rK es separable: g(t)=r (constante) y h(K)=K.

Resolviendo dK/dt = rK, paso a paso

Separando las variables:

dK/dt = rK
dK/K = r dt                          (dividiendo ambos lados entre K, multiplicando por dt)

Integrando ambos lados:

∫ dK/K = ∫ r dt
ln|K| = rt + C                       (la integral de 1/K es ln|K|; la de r respecto a t es rt)

Despejando K, aplicando exponencial en ambos lados:

|K| = e^(rt + C) = e^C · e^(rt)
K(t) = A · e^(rt)                    (donde A = e^C es una nueva constante positiva)

Para encontrar A, se usa la condición inicial K(0)=1.000:

K(0) = A · e^(r·0) = A · e^0 = A · 1 = A
Como K(0) = 1.000:  A = 1.000

La solución particular es K(t) = 1.000 · e^(0,05t). Evaluando en t=10:

K(10) = 1.000 · e^(0,05×10) = 1.000 · e^0,5 ≈ 1.000 × 1,6487 ≈ 1.648,7

En 10 años, el capital de la empresa crecería de 1.000 a aproximadamente 1.648,7 (miles de Bs), el conocido patrón de crecimiento exponencial continuo, la versión en tiempo continuo del interés compuesto.

Preguntas para pensar

• ¿Qué otras variables económicas conoces que sigan una regla de crecimiento proporcional a su propio valor, similar a dK/dt=rK?
• Si en vez de r=0,05 la tasa fuera negativa (r=-0,05), ¿qué tipo de trayectoria describiría K(t)? Interprétalo económicamente.
• El método de separación de variables no funciona si la ecuación no se puede factorizar como g(x)·h(y). ¿Qué harías si te encontraras con dy/dx = x + y, donde x e y aparecen sumados, no multiplicados?