E.1 Integrales dobles y aplicaciones económicas

Un costo marginal que depende de dos cantidades

Una empresa produce dos bienes, x e y, con un costo marginal conjunto (ilustrativo) de CMg(x,y) = 2x + 3y, el costo de una unidad adicional depende de cuánto se está produciendo de ambos bienes a la vez, no solo de uno. La empresa planea un lote con x entre 0 y 10 unidades, y con y entre 0 y 5 unidades. ¿Cuál es el costo total de producir todo el lote?

De área a volumen: la integral doble

En A.2, la integral definida de una función de una variable se interpretó como el área bajo una curva. Cuando la función depende de dos variables, z = f(x,y), su integral sobre una región del plano xy se interpreta como el volumen bajo la superficie que forma f, sobre esa región, la generalización directa de "área bajo la curva" a "volumen bajo la superficie".

Para una región rectangular R = [a,b] × [c,d] (x entre a y b, y entre c y d), la integral doble se escribe:

∫∫_R f(x,y) dA

y, igual que la integral simple se definía como un límite de sumas de rectángulos (A.2), la integral doble es el límite de una suma de pequeños prismas: se divide la región R en celdas pequeñas de área ΔxΔy, se multiplica f(x,y) por esa área en cada celda, y se suman todos los prismas resultantes.

Integración iterada: resolver la integral doble en dos pasos

Calcular ese límite de sumas de prismas directamente sería impracticable. En la práctica, una integral doble sobre una región rectangular se calcula como una integral iterada: primero se integra respecto a una variable (tratando a la otra como constante, igual que una derivada parcial en C.1, pero ahora integrando), y después se integra el resultado respecto a la variable restante.

Para CMg(x,y) = 2x + 3y sobre x∈[0,10], y∈[0,5], se integra primero respecto a y (tratando a x como constante):

∫[0 a 5] (2x + 3y) dy = [2xy + 1.5y²]          (evaluado entre y=0 y y=5)
                       = (2x·5 + 1.5·25) − (2x·0 + 1.5·0²)
                       = 10x + 37.5

El resultado, 10x + 37,5, es ahora una función de una sola variable (x). Se integra esa función respecto a x, entre 0 y 10:

∫[0 a 10] (10x + 37.5) dx = [5x² + 37.5x]          (evaluado entre x=0 y x=10)
                           = (5·100 + 37.5·10) − (5·0² + 37.5·0)
                           = 500 + 375
                           = 875

El costo total del lote completo es 875 (en las unidades monetarias del problema). El teorema de Fubini garantiza que el orden de integración no importa: integrar primero respecto a x y después respecto a y da exactamente el mismo resultado, siempre que la región sea rectangular (o, más generalmente, bajo condiciones técnicas que casi cualquier función económica razonable cumple).

Preguntas para pensar

• Si la región no fuera un rectángulo sino un triángulo (por ejemplo, porque hay una restricción conjunta entre x e y, como x+y≤12), ¿cómo cambiarían los límites de la integral interna respecto a los de este ejercicio?
• ¿Qué otras cantidades económicas, además del costo total, podrían calcularse como una integral doble sobre dos variables de producción simultáneas?
• Compara la integral doble de este tema con la integral definida de A.2-A.3. ¿Qué tuvo que generalizarse conceptualmente al pasar de una variable a dos?