D.2 Optimización restringida: multiplicadores de Lagrange

Maximizar producción con un presupuesto fijo

La empresa de B.1-C.3, con función de producción Q(K,L) = 10√(KL), tiene un presupuesto fijo de B=100 (miles de Bs, ilustrativo) para gastar en capital y trabajo. El capital cuesta r=2 por unidad y el trabajo w=1 por unidad. La restricción presupuestaria es:

2K + L = 100

Sin la restricción de D.1 (donde ambas derivadas parciales se igualan a cero libremente), aquí el problema es distinto: maximizar Q(K,L) sujeto a que el gasto no exceda el presupuesto. ¿Cuánto capital y cuánto trabajo maximiza la producción?

El método de Lagrange, paso a paso

El método de los multiplicadores de Lagrange convierte un problema de optimización restringida en un sistema de ecuaciones sin restricciones. Se construye la función lagrangiana:

L(K, L, λ) = Q(K,L) - λ · (2K + L - 100)

donde λ (el multiplicador de Lagrange) es una nueva incógnita. Se deriva L respecto a las tres variables y se iguala cada una a cero:

∂L/∂K = ∂Q/∂K - 2λ = 0     →     ∂Q/∂K = 2λ
∂L/∂L = ∂Q/∂L - λ = 0      →     ∂Q/∂L = λ
∂L/∂λ = -(2K + L - 100) = 0  →   2K + L = 100   (recupera la restricción original)

Usando los productos marginales ya conocidos de C.1 (∂Q/∂K=5√(L/K), ∂Q/∂L=5√(K/L)), dividiendo la primera ecuación entre la segunda para eliminar λ:

(∂Q/∂K) / (∂Q/∂L) = 2λ / λ = 2
[5√(L/K)] / [5√(K/L)] = 2
(L/K) = 2                    (simplificando la razón de raíces)
L = 2K

Esta es la condición de tangencia: la relación marginal de sustitución entre K y L debe igualar la relación de precios (2, el precio relativo del capital respecto al trabajo).

Resolviendo el sistema completo

Sustituyendo L=2K en la restricción presupuestaria:

2K + L = 100
2K + 2K = 100
4K = 100
K = 25

Y entonces L = 2(25) = 50. El óptimo restringido es (K,L) = (25, 50), con una producción de:

Q(25, 50) = 10 · √(25 × 50) = 10 · √1.250 ≈ 10 × 35,36 ≈ 353,6

Se puede verificar el valor de λ con cualquiera de las dos ecuaciones originales:

λ = ∂Q/∂L (25,50) = 5√(25/50) = 5 × 0,7071 ≈ 3,54

El multiplicador de Lagrange tiene, además, una interpretación económica directa: mide cuánto aumentaría la producción máxima si el presupuesto B creciera en una unidad, aquí, cada Bs adicional de presupuesto permitiría producir aproximadamente 3,54 unidades más.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué la condición de tangencia (razón de productos marginales = razón de precios) es la misma idea que ya viste en Microeconomía I con las curvas de indiferencia y la restricción presupuestaria del consumidor?
• Si el precio del trabajo (w) subiera de 1 a 2 (igualándose al del capital), ¿esperarías que el óptimo (K,L) se mantenga en (25,50), o cambiaría? Razona sin resolver el sistema completo de nuevo.
• El multiplicador de Lagrange mide el efecto de relajar la restricción en una unidad. ¿Cómo podrías usar ese valor para decidir si conviene pedir un préstamo adicional para aumentar el presupuesto B?