D.1 Puntos críticos y el criterio del Hessiano

Dos productos, una sola función de ganancia

Una empresa produce dos bienes, x e y, con una función de ganancia (ilustrativa, para trabajar el método) que incluye un efecto cruzado entre ambos productos, producir más de uno afecta el margen del otro, por ejemplo por compartir capacidad instalada:

π(x, y) = -x² - xy - y² + 40x + 50y

¿En qué combinación (x,y) es máxima la ganancia, y cómo se puede estar seguro de que es un máximo y no otra cosa?

Puntos críticos: donde ambas derivadas parciales son cero

En una variable, un candidato a máximo o mínimo se encuentra donde f'(x)=0. En dos variables, un punto crítico es donde ambas derivadas parciales son cero a la vez: ∂π/∂x=0 y ∂π/∂y=0 simultáneamente, ninguna dirección (ni la de x ni la de y) puede mejorar la ganancia con un cambio infinitesimal.

Derivando π(x,y) = -x² - xy - y² + 40x + 50y:

∂π/∂x = -2x - y + 40
∂π/∂y = -x - 2y + 50

Igualando ambas a cero, se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales, exactamente el tipo de sistema de la Sección B de Álgebra Aplicada:

-2x - y + 40 = 0   →   2x + y = 40
-x - 2y + 50 = 0   →   x + 2y = 50

Resolviendo por sustitución: de la primera ecuación, y = 40 - 2x. Sustituyendo en la segunda:

x + 2(40 - 2x) = 50
x + 80 - 4x = 50
-3x = -30
x = 10

Y entonces y = 40 - 2(10) = 20. El punto crítico es (x,y) = (10, 20).

El criterio del Hessiano: clasificar el punto crítico

Un punto crítico puede ser un máximo, un mínimo, o un punto de silla (máximo en una dirección, mínimo en otra); encontrar dónde ambas derivadas parciales son cero no basta para saber cuál de los tres es. La herramienta para decidir es la matriz Hessiana: la matriz de las cuatro derivadas parciales de segundo orden.

H = [ ∂²π/∂x²    ∂²π/∂x∂y ]
    [ ∂²π/∂y∂x   ∂²π/∂y²  ]

Derivando otra vez cada una de las derivadas parciales de arriba:

∂²π/∂x² = ∂/∂x(-2x - y + 40) = -2
∂²π/∂y² = ∂/∂y(-x - 2y + 50) = -2
∂²π/∂x∂y = ∂/∂y(-2x - y + 40) = -1
∂²π/∂y∂x = ∂/∂x(-x - 2y + 50) = -1

Las dos derivadas cruzadas coinciden (-1 = -1), no es casualidad: el teorema de Young garantiza que, para funciones razonablemente suaves, ∂²π/∂x∂y siempre es igual a ∂²π/∂y∂x, sin importar el orden en que se derive. Por eso el Hessiano es siempre una matriz simétrica:

H = [ -2  -1 ]
    [ -1  -2 ]

Esta es exactamente la misma clase de matriz simétrica que se clasificó por valores propios en F.2 de Álgebra Aplicada (módulo 11): si ambos valores propios son negativos, H es definida negativa y el punto crítico es un máximo; si ambos son positivos, es un mínimo; si tienen signos opuestos, es un punto de silla.

Por qué funciona este criterio: se apoya en la expansión de Taylor de segundo orden para dos variables, cerca de un punto crítico (x₀,y₀) donde ambas derivadas parciales son cero:

π(x₀+h, y₀+k) ≈ π(x₀,y₀) + (1/2)·[ h²·∂²π/∂x² + 2hk·∂²π/∂x∂y + k²·∂²π/∂y² ]

(los términos de primer orden desaparecen porque ambas derivadas parciales son cero en el punto crítico, igual que en el caso de una variable). La expresión entre corchetes es, en notación matricial, exactamente [h k]·H·[h;k], una forma cuadrática construida con la matriz Hessiana. El signo de esa forma cuadrática, para cualquier dirección (h,k), queda determinado por los valores propios de H:

Si ambos valores propios son negativos, entonces para toda dirección (h,k)≠(0,0): π(x₀+h,y₀+k) < π(x₀,y₀)          (el punto crítico es un máximo)
Si ambos valores propios son positivos, entonces para toda dirección (h,k)≠(0,0): π(x₀+h,y₀+k) > π(x₀,y₀)          (el punto crítico es un mínimo)
Si los valores propios tienen signos opuestos, el resultado depende de la dirección (h,k): sube en unas direcciones y baja en otras          (punto de silla)

Preguntas para pensar

• Calcula π(10,20) paso a paso. ¿Cómo se compara ese valor con la ganancia en un punto cercano, como (11,20) o (10,21), para confirmar intuitivamente que (10,20) es efectivamente mejor?
• Si el Hessiano hubiera dado valores propios de signos opuestos (por ejemplo, 2 y -3), ¿qué significaría eso para la búsqueda de un óptimo de ganancia en esta empresa?
• ¿Por qué el criterio del Hessiano en dos variables generaliza directamente el criterio de la segunda derivada (f''(x)) que ya conocías de Cálculo, de una sola variable?