C.3 Funciones homogéneas, Cobb-Douglas y rendimientos a escala

Escalar todos los insumos a la vez

Hasta ahora, en B.1-C.2, se movió K o L por separado, o ambos en cantidades pequeñas e independientes. Una pregunta distinta: si la empresa de Q(K,L)=10√(KL) multiplica tanto K como L por un mismo factor t (por ejemplo, duplica ambos insumos, t=2), ¿en qué factor crece su producción?

Funciones homogéneas: escalar los insumos y ver qué pasa con el resultado

Una función f(K,L) es homogénea de grado n si, al reemplazar K por tK y L por tL (escalar ambos insumos por el mismo factor t), el resultado es exactamente t^n veces el valor original:

f(tK, tL) = t^n · f(K, L)

Para Q(K,L) = 10√(KL), se sustituye K por tK y L por tL, paso a paso:

Q(tK, tL) = 10 · √(tK · tL)
          = 10 · √(t² · KL)          (agrupando los dos factores de t)
          = 10 · √(t²) · √(KL)        (la raíz de un producto es el producto de las raíces)
          = 10 · t · √(KL)            (√(t²) = t, para t>0)
          = t · [10 · √(KL)]
          = t · Q(K,L)

Se obtiene exactamente t¹ · Q(K,L): Q es homogénea de grado 1. Esto significa que si la empresa duplica capital y trabajo (t=2), su producción también se duplica exactamente, ni más ni menos.

Rendimientos a escala y el teorema de Euler

El grado de homogeneidad n de una función de producción tiene un nombre económico directo:

- n = 1: rendimientos constantes a escala (duplicar insumos duplica la producción, como en Q(K,L)=10√(KL)).
- n < 1: rendimientos decrecientes a escala (duplicar insumos menos que duplica la producción).
- n > 1: rendimientos crecientes a escala (duplicar insumos más que duplica la producción).

Para una función Cobb-Douglas general Q(K,L) = A·K^a·L^b, el mismo procedimiento de C.3 (sustituir tK y tL) da Q(tK,tL) = A(tK)^a(tL)^b = A·t^a·t^b·K^a·L^b = t^(a+b)·Q(K,L): el grado de homogeneidad es exactamente a+b, la suma de los exponentes.

Un resultado adicional, el teorema de Euler, conecta la homogeneidad con las derivadas parciales de C.1: si f es homogénea de grado n, entonces K·(∂f/∂K) + L·(∂f/∂L) = n·f.

Demostración general: partiendo de la propia definición de homogeneidad, f(tK,tL) = tⁿ·f(K,L), se derivan ambos lados respecto a t (K y L se tratan como constantes, porque lo que varía es t):

Lado izquierdo, con la regla de la cadena (C.2):
d/dt [f(tK,tL)] = ∂f/∂(tK) · K + ∂f/∂(tL) · L        (donde K y L son las derivadas de tK y tL respecto a t)

Lado derecho, con la regla de la potencia:
d/dt [t^n·f(K,L)] = n·t^(n-1)·f(K,L)                      (f(K,L) no depende de t, sale como constante)

Igualando ambos lados:
K·∂f/∂(tK) + L·∂f/∂(tL) = n·t^(n-1)·f(K,L)

Evaluando en t=1 (con tK=K, tL=L):
K·(∂f/∂K) + L·(∂f/∂L) = n·f(K,L)

Esta demostración vale para cualquier función homogénea, no solo para Q(K,L)=10√(KL), por eso es un teorema, y no solo una propiedad de este ejemplo particular. Ahora sí, se puede verificar directamente con los productos marginales ya calculados (C.1): ∂Q/∂K=5√(L/K), ∂Q/∂L=5√(K/L).

K · (∂Q/∂K) + L · (∂Q/∂L) = K · 5√(L/K) + L · 5√(K/L)
                            = 5√(K²·L/K) + 5√(L²·K/L)     (metiendo K y L dentro de cada raíz)
                            = 5√(K·L) + 5√(K·L)
                            = 10√(KL)
                            = Q(K,L)

El resultado es exactamente Q(K,L) = 1 · Q(K,L), coincide con n=1, el mismo grado de homogeneidad ya encontrado. El teorema de Euler confirma, por un camino algebraico distinto, lo mismo que la sustitución directa de tK y tL.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que, en la práctica, muchos modelos macroeconómicos asumen rendimientos constantes a escala (n=1) para simplificar el análisis agregado de una economía?
• Si conocieras el grado de homogeneidad de la función de producción de una industria real boliviana, ¿qué te diría eso sobre si conviene, desde el punto de vista de la eficiencia productiva, tener muchas empresas pequeñas o pocas empresas grandes en esa industria?
• El teorema de Euler generaliza a cualquier número de variables, no solo dos. ¿Cómo escribirías la fórmula para una función de producción con tres insumos, Q(K,L,T) (capital, trabajo, tierra)?