C.2 Diferencial total y regla de la cadena

Dos cambios simultáneos, un solo efecto combinado

En C.1 se calculó por separado el efecto de mover K y el efecto de mover L, con la otra variable fija. Pero en la práctica, una empresa suele cambiar ambos insumos a la vez: por ejemplo, la empresa de B.1-C.1 (Q(K,L)=10√(KL), en K=4, L=9, Q=60) decide aumentar su capital en ΔK=0.1 y su trabajo en ΔL=0.2, simultáneamente. ¿Cuánto cambia aproximadamente su producción?

El diferencial total: sumar ambos efectos parciales

El diferencial total dQ aproxima el cambio de una función de varias variables como la suma de los efectos de cada variable por separado, cada uno multiplicado por su propio cambio:

dQ = (∂Q/∂K) · dK + (∂Q/∂L) · dL

Con los productos marginales ya calculados en C.1 en el punto (4,9), ∂Q/∂K=7,5 y ∂Q/∂L≈3,33, y los cambios propuestos ΔK=0,1 y ΔL=0,2:

dQ = 7.5 × 0.1 + 3.33 × 0.2
   = 0.75 + 0.667
   = 1.417

Se puede verificar qué tan buena es esta aproximación calculando el cambio real de forma directa:

Q(4.1, 9.2) = 10 · √(4.1 × 9.2) = 10 · √37.72 ≈ 61.4166
Q(4, 9)     = 60
ΔQ real     = 61.4166 − 60 = 1.4166

La aproximación (1,417) y el valor real (1,4166) coinciden casi exactamente: el diferencial total funciona bien precisamente porque ΔK y ΔL son pequeños; para cambios grandes, la aproximación lineal empieza a alejarse del valor real.

La regla de la cadena: cuando K y L dependen de una tercera variable

Si tanto K como L cambian con el tiempo, K(t) y L(t), por ejemplo un plan de inversión y de contratación mes a mes, la producción Q también es, indirectamente, una función del tiempo: Q(K(t), L(t)). La regla de la cadena para varias variables dice cómo derivar esa composición:

dQ/dt = (∂Q/∂K) · (dK/dt) + (∂Q/∂L) · (dL/dt)

Es la misma idea del diferencial total, pero dividiendo entre dt en vez de trabajar con incrementos pequeños directamente. Supongamos que la empresa planea K(t) = 4 + 0,5t y L(t) = 9 + t (el capital crece a razón de 0,5 por mes, el trabajo a razón de 1 por mes; valores ilustrativos). En t=0 (K=4, L=9, los mismos valores de siempre), dK/dt=0,5 y dL/dt=1:

dQ/dt = 7.5 × 0.5 + 3.33 × 1
      = 3.75 + 3.33
      = 7.083

En el momento t=0, la producción de la empresa crece a un ritmo de aproximadamente 7,08 unidades por mes, como resultado combinado del crecimiento simultáneo del capital y del trabajo.

Preguntas para pensar

• Si en vez de K(t) y L(t) dependiendo del tiempo, K dependiera de L (por ejemplo, la empresa siempre mantiene una proporción fija entre capital y trabajo), ¿cómo cambiaría la regla de la cadena aplicable?
• ¿En qué se parece el diferencial total dQ a la recta tangente que usaste en Cálculo (módulo 5) para aproximar funciones de una variable?
• Diseña tu propio ejemplo de dos variables económicas que cambien simultáneamente en el tiempo, y describe en palabras cómo aplicarías la regla de la cadena para encontrar su tasa de cambio combinada.