C.1 Definición, interpretación geométrica y derivadas de orden superior

Derivar 'solo respecto a una variable'

Retomando la función de producción de B.1, Q(K,L) = 10√(KL): si la empresa tiene K=4 y L=9 (Q=60, ya calculado en B.1), y aumenta ligeramente su capital sin tocar el trabajo, ¿a qué ritmo crece su producción? Y si en cambio aumenta ligeramente el trabajo sin tocar el capital, ¿a qué ritmo crece?

La derivada parcial: una variable a la vez

La derivada parcial de Q respecto a K, escrita ∂Q/∂K, mide cómo cambia Q cuando K cambia una cantidad infinitesimal y L se mantiene constante, se deriva exactamente como en una variable, tratando a L como si fuera un número fijo cualquiera (como el 10 que ya multiplica a la raíz).

Para Q(K,L) = 10√(KL) = 10·K^(1/2)·L^(1/2), se deriva respecto a K tratando L^(1/2) (y el 10) como constantes multiplicativas:

∂Q/∂K = 10 · L^(1/2) · d/dK [ K^(1/2) ]
       = 10 · L^(1/2) · (1/2) K^(-1/2)         (regla de la potencia, n=1/2)
       = 5 · L^(1/2) · K^(-1/2)
       = 5 · √(L/K)

De forma simétrica, derivando respecto a L (tratando K^(1/2) como constante):

∂Q/∂L = 10 · K^(1/2) · d/dL [ L^(1/2) ]
       = 10 · K^(1/2) · (1/2) L^(-1/2)
       = 5 · K^(1/2) · L^(-1/2)
       = 5 · √(K/L)

Evaluando ambas en el punto (K=4, L=9):

∂Q/∂K (4,9) = 5 · √(9/4) = 5 · 1.5 = 7.5
∂Q/∂L (4,9) = 5 · √(4/9) = 5 · (2/3) ≈ 3.33

Con K=4 y L=9, un aumento pequeño de capital hace crecer la producción a un ritmo de 7,5 unidades por unidad de capital; un aumento pequeño de trabajo, a un ritmo de solo 3,33 unidades por trabajador.

Interpretación económica: el producto marginal

∂Q/∂K es exactamente el producto marginal del capital (PMg_K): cuánto aumenta la producción por cada unidad adicional de capital, manteniendo el trabajo constante. De la misma forma, ∂Q/∂L es el producto marginal del trabajo (PMg_L). Son la generalización directa, a dos variables, del concepto de "marginal" ya usado en A.1 con el costo.

La derivada de orden superior ∂²Q/∂K², derivar ∂Q/∂K otra vez respecto a K, revela cómo cambia ese producto marginal a medida que crece el capital:

∂²Q/∂K² = ∂/∂K [ 5 · L^(1/2) · K^(-1/2) ]
        = 5 · L^(1/2) · (-1/2) · K^(-3/2)      (regla de la potencia, n=-1/2)
        = -2.5 · √L / K^(3/2)

Como K y L son siempre positivos en el campo de existencia económico (B.1), ∂²Q/∂K² es siempre negativa: el producto marginal del capital decrece a medida que se agrega más capital, manteniendo el trabajo fijo. Esta es la ley de los rendimientos marginales decrecientes, ya vista de forma cualitativa en Economía General, ahora demostrada algebraicamente a partir de la segunda derivada parcial.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué ∂²Q/∂L² también resulta negativa, por el mismo tipo de razonamiento aplicado a ∂²Q/∂K²? Deriva la expresión completa.
• Geométricamente, Q(K,L) es una superficie en tres dimensiones. ¿Qué representa ∂Q/∂K en términos de esa superficie, qué corte o sección se está observando?
• Si el precio del capital y el precio del trabajo fueran distintos, ¿cómo usarías los productos marginales de este tema para decidir si conviene contratar más trabajo o comprar más maquinaria?