B.2 Límites y continuidad en varias variables

Acercarse a un punto por infinitos caminos distintos

En una función de una variable, acercarse a un punto x=a solo tiene dos direcciones posibles: por la izquierda o por la derecha. En una función de dos variables, acercarse a un punto (a,b) se puede hacer por infinitos caminos distintos en el plano: en línea recta desde cualquier ángulo, en espiral, a lo largo de una parábola, y así sucesivamente.

¿Qué pasa con Q(K,L)=10√(KL) de B.1 si la empresa reduce simultáneamente su capital y su trabajo hasta casi cero? ¿Se acerca su producción a cero sin importar el camino que siga para reducir ambos insumos?

El límite de una función de dos variables

Se dice que el límite de f(x,y) cuando (x,y)→(a,b) es L si f(x,y) se acerca a L sin importar por qué camino (x,y) se aproxime a (a,b). Esto es más exigente que en una variable: si dos caminos distintos dan como resultado valores diferentes, el límite no existe, aunque la función esté perfectamente definida cerca de ese punto.

Una función f es continua en (a,b) si se cumplen tres condiciones: f(a,b) está definida, el límite de f cuando (x,y)→(a,b) existe, y ambos valores coinciden.

Q(K,L)=10√(KL) es continua en (0,0): la demostración, paso a paso

Para verificar que Q(K,L)=10√(KL) se acerca a cero sin importar el camino, conviene una desigualdad clásica, la desigualdad de las medias, derivada aquí desde cero:

(√K − √L)² ≥ 0                    (todo cuadrado es no negativo)
K − 2√K√L + L ≥ 0                 (expandiendo el cuadrado)
K + L ≥ 2√(KL)                    (despejando el término cruzado)
√(KL) ≤ (K + L) / 2                (dividiendo entre 2)

Multiplicando ambos lados por 10:

0 ≤ Q(K,L) = 10√(KL) ≤ 5(K + L)

Como K≥0 y L≥0, Q está siempre atrapada entre 0 y 5(K+L). Cuando (K,L)→(0,0) por cualquier camino dentro del campo de existencia, K+L→0, así que 5(K+L)→0 también, y Q, atrapada entre dos cantidades que van a cero, tiene que ir a cero igual (este argumento de "atrapar" la función entre dos límites conocidos se llama teorema del sandwich o del emparedado). Como además Q(0,0)=10√(0×0)=0 coincide con ese límite, Q es continua en (0,0): no importa cómo la empresa reduzca capital y trabajo hacia cero, su producción se acerca a cero de forma predecible.

Cuando el camino sí importa: un contraejemplo clásico

No todas las funciones de dos variables se comportan tan bien. Considera, de forma puramente matemática, no como modelo económico, la función:

f(x,y) = xy / (x² + y²)     (para (x,y) distinto de (0,0))
f(0,0) = 0

Acercándose a (0,0) a lo largo del eje x (y=0, con x≠0):

f(x, 0) = (x)(0) / (x² + 0²) = 0 / x² = 0

El límite por este camino es 0. Pero acercándose a lo largo de la recta y=x:

f(x, x) = (x)(x) / (x² + x²) = x² / 2x² = 1/2

¡El límite por este segundo camino es 1/2, no 0! Como dos caminos distintos dan resultados distintos, el límite de f cuando (x,y)→(0,0) no existe, y por lo tanto f es discontinua en el origen, aunque f(0,0) esté perfectamente definida (=0) y la función esté definida en todos los puntos alrededor. Este es exactamente el tipo de comportamiento que el argumento del "sandwich" de Q(K,L) descartó: ahí se demostró que todo camino da el mismo resultado, no solo uno o dos caminos verificados a mano.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que, en la práctica económica, la mayoría de las funciones de producción razonables (como Cobb-Douglas) resultan ser continuas, mientras que ejemplos como xy/(x²+y²) casi nunca aparecen en modelos económicos reales?
• El teorema del sandwich funcionó porque se encontró una cota superior (5(K+L)) que iba a cero. ¿Qué características de la fórmula de Q(K,L) permitieron encontrar esa cota con relativa facilidad?
• Si una función de costos tuviera una discontinuidad como la de xy/(x²+y²) en un punto relevante para la producción de una empresa real, ¿qué problema práctico causaría eso al intentar optimizar la producción cerca de ese punto?