B.1 Dominio, campo de existencia y curvas de nivel

Una producción que depende de dos cosas a la vez

Una empresa boliviana combina capital (K, en miles de Bs de maquinaria) y trabajo (L, en número de trabajadores) para producir. Su función de producción, ilustrativa, con rendimientos constantes a escala, para trabajar el método, es:

Q(K, L) = 10 · √(K · L)

¿Cuánto produce la empresa si tiene K=4 (miles de Bs) y L=9 trabajadores? Y, antes de responder eso: ¿para qué valores de K y L tiene sentido siquiera evaluar esta fórmula?

Funciones de dos variables: dominio y campo de existencia

Una función de dos variables, Q(K,L), asigna un único número Q a cada par ordenado (K,L), no a un solo número, como las funciones de una variable ya conocidas, sino a una combinación de dos. El dominio de Q es el conjunto de todos los pares (K,L) para los que la función está definida; el campo de existencia es el subconjunto de ese dominio que además tiene sentido dentro del problema concreto que se está modelando.

Para Q(K,L) = 10√(KL), la restricción matemática viene de la raíz cuadrada: en los números reales, √(x) solo está definida para x ≥ 0. Por lo tanto:

K · L ≥ 0

Esto se cumple si K y L tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). Pero el campo de existencia económico es más estrecho todavía: K representa capital y L representa trabajadores, y ninguno de los dos puede ser negativo en la realidad. Por lo tanto, el campo de existencia de esta función de producción es:

{ (K, L) : K ≥ 0, L ≥ 0 }

el primer cuadrante del plano KL, incluyendo los ejes.

Evaluar la función y las curvas de nivel (isocuantas), paso a paso

Evaluar Q en un punto concreto es sustituir K y L directamente:

Q(4, 9) = 10 · √(4 · 9) = 10 · √36 = 10 · 6 = 60

Con K=4 y L=9, la empresa produce 60 unidades. Ahora, la pregunta inversa: ¿qué combinaciones de K y L producen exactamente 50 unidades? Esa pregunta define una curva de nivel, en el contexto de producción, se llama isocuanta: el conjunto de todos los pares (K,L) que dan el mismo valor de Q.

Para encontrar la ecuación de la isocuanta Q=50, se despeja L en función de K, paso a paso:

10√(KL) = 50
√(KL) = 5                    (dividiendo ambos lados entre 10)
KL = 25                      (elevando ambos lados al cuadrado)
L = 25 / K                   (despejando L)

Repitiendo el mismo procedimiento para Q=100:

10√(KL) = 100
√(KL) = 10
KL = 100
L = 100 / K

Cada isocuanta es una hipérbola: a medida que se usa más capital (K crece), se necesita menos trabajo (L decrece) para mantener el mismo nivel de producción, la forma típica de una isocuanta con sustituibilidad entre insumos.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué las isocuantas de esta función nunca tocan los ejes K=0 o L=0? ¿Qué significa eso económicamente?
• Si la función de producción fuera Q(K,L) = 10·K (sin depender de L en absoluto), ¿cómo se verían sus curvas de nivel en el plano KL?
• Compara esta función de producción con la matriz de coeficientes técnicos de Álgebra Aplicada (módulo 11): ambas describen cómo se combinan insumos para producir. ¿Qué supuesto de esta función de producción (rendimientos constantes a escala) no estaba presente en el modelo de Leontief?