A.2 La integral definida y el teorema fundamental del cálculo

El costo de un tramo de producción, no del total

En A.1 la cooperativa reconstruyó su función de costo total, C(q) = 2q² + 800q + 50.000, a partir del costo marginal CMg(q) = 4q + 800. Ahora quiere responder una pregunta distinta: ¿cuánto le cuesta específicamente ampliar su producción de 50 a 150 toneladas, no el costo total de las 150 toneladas, solo el costo adicional de ese tramo?

Una forma de responder es calcular C(150) − C(50). Pero hay otra forma, más directa, que no necesita conocer la constante C en absoluto: sumar el costo marginal de cada tonelada, una por una, entre la 50 y la 150. Esa suma continua tiene nombre propio: integral definida.

La integral definida como área bajo la curva

Imagina que se divide el intervalo [50, 150] en pequeños tramos de ancho Δq, y en cada tramo se aproxima el costo de esa porción como CMg(q_i) × Δq, el costo marginal en ese punto, multiplicado por el ancho del tramo. Sumando todos esos rectángulos pequeños:

Costo del tramo: Σ CMg(q_i) · Δq        (aproximación mediante suma de rectángulos)

A medida que Δq se hace cada vez más pequeño (más rectángulos, más finos), esa suma se acerca cada vez más al valor exacto: el área bajo la curva CMg(q) entre q=50 y q=150. Ese límite es, por definición, la integral definida:

∫[50 a 150] CMg(q) dq  =  lim (Δq→0)  Σ CMg(q_i) · Δq

Geométricamente: es el área bajo la curva del costo marginal, entre los dos límites de producción, el costo adicional exacto de ese tramo, sumado de forma continua en vez de tonelada por tonelada.

El teorema fundamental del cálculo: calcularla sin sumar infinitos rectángulos

Calcular ese límite de sumas directamente sería impracticable a mano. El teorema fundamental del cálculo ofrece un atajo exacto: si F(q) es cualquier antiderivada de CMg(q), cualquier función tal que F'(q)=CMg(q), sin importar qué constante C se haya elegido, entonces:

∫[a a b] CMg(q) dq  =  F(b) − F(a)

La constante C se cancela automáticamente en la resta, así que ni siquiera hace falta conocerla. Usando la antiderivada ya encontrada en A.1, F(q) = 2q² + 800q (se omite la constante porque va a cancelarse):

F(150) = 2(150)² + 800(150) = 2(22.500) + 120.000 = 45.000 + 120.000 = 165.000
F(50)  = 2(50)² + 800(50)   = 2(2.500) + 40.000   = 5.000 + 40.000   = 45.000

∫[50 a 150] (4q + 800) dq = F(150) − F(50) = 165.000 − 45.000 = 120.000

Ampliar la producción de 50 a 150 toneladas cuesta exactamente Bs 120.000, el mismo resultado que se obtendría restando C(150) − C(50) con la función completa de A.1 (215.000 − 95.000 = 120.000), confirmando que la constante C, en efecto, no influye en absoluto en el resultado de una integral definida.

Preguntas para pensar

• Si en vez de [50,150] se pidiera el costo de ampliar de 0 a 150 toneladas usando la integral definida, ¿el resultado sería igual a C(150)? ¿Por qué sí o por qué no, tomando en cuenta el costo fijo?
• ¿Qué ventaja práctica tiene calcular una integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo, en vez de aproximarla sumando muchos rectángulos pequeños?
• El componente de esta subsección calcula el área con la regla del trapecio (una aproximación numérica). ¿Por qué, para una función lineal como CMg(q)=4q+800, esa aproximación coincide exactamente con el resultado del teorema fundamental?