A.1 Repaso: de la derivada a la integral indefinida (costo marginal → costo total)

El costo marginal es fácil de estimar; el costo total, no tanto

Una cooperativa exportadora de quinua sabe, por experiencia y por sus registros de insumos, que el costo marginal de producir la tonelada q-ésima es CMg(q) = 4q + 800 (en bolivianos por tonelada; valores ilustrativos para este ejercicio, no un dato institucional). Sabe también que sus costos fijos (certificación orgánica, almacenamiento, administración) son de Bs 50.000, sin importar cuánto produzca.

Lo que la cooperativa no tiene es una fórmula para su costo total C(q): nadie llevó ese registro. ¿Se puede reconstruir C(q) a partir de CMg(q), sabiendo que el costo marginal es, por definición, la derivada del costo total?

La integral indefinida: deshacer la derivada, paso a paso

El costo marginal es la derivada del costo total: CMg(q) = C'(q). Por lo tanto, encontrar C(q) a partir de CMg(q) es deshacer una derivada: encontrar una función cuya derivada sea la que ya tienes. A esa operación inversa se le llama integral indefinida o antiderivada, y se escribe ∫CMg(q) dq.

Para deshacer una derivada de forma sistemática, conviene primero recordar, paso a paso, cómo se deriva una potencia:

Regla de la potencia (derivada):    d/dq [ q^n ] = n · q^(n-1)

Si se "lee al revés" esta regla, buscando qué función, al derivarla, da q^n, se obtiene la regla de la potencia para integrar. Sea F(q) = q^(n+1) / (n+1). Derivando F(q) con la misma regla de la potencia:

F'(q) = d/dq [ q^(n+1) / (n+1) ]
      = (1/(n+1)) · d/dq [ q^(n+1) ]        (la constante 1/(n+1) sale de la derivada)
      = (1/(n+1)) · (n+1) · q^n              (regla de la potencia, con exponente n+1)
      = q^n                                   (el (n+1) del numerador y denominador se cancelan)

F'(q) = q^n, que es exactamente lo que se buscaba. Por lo tanto:

∫ q^n dq = q^(n+1) / (n+1) + C          (para n ≠ -1)

El +C es indispensable: como la derivada de cualquier constante es cero, F(q)+5, F(q)+100 o F(q)-30 tienen exactamente la misma derivada que F(q). Sin más información, la integral indefinida no puede saber cuál de esas infinitas funciones es la correcta: C representa esa familia entera de posibles antiderivadas, y se necesita un dato adicional (aquí, el costo fijo) para fijar su valor.

Aplicando la regla, término por término, al costo marginal real

La integral de una suma es la suma de las integrales, y una constante multiplicativa puede salir de la integral sin cambiar nada, ambas propiedades se heredan directamente de las propiedades análogas de la derivada. Esto permite integrar CMg(q) = 4q + 800 término por término:

∫ (4q + 800) dq = ∫ 4q dq + ∫ 800 dq                     (integral de una suma)

∫ 4q dq = 4 · ∫ q dq = 4 · ∫ q^1 dq
        = 4 · [ q^(1+1) / (1+1) ] + C₁
        = 4 · (q² / 2) + C₁
        = 2q² + C₁                                          (aplicando la regla de la potencia con n=1)

∫ 800 dq = 800 · ∫ q^0 dq = 800 · [ q^(0+1)/(0+1) ] + C₂
         = 800q + C₂                                        (integrar una constante siempre da "constante × q")

∫ (4q + 800) dq = 2q² + 800q + C                            (juntando ambos resultados, C = C₁ + C₂)

Entonces C(q) = 2q² + 800q + C, para alguna constante C todavía desconocida. Para encontrar el valor exacto de C, se usa el dato de los costos fijos: cuando la producción es cero (q=0), el costo total es exactamente el costo fijo, porque no hay costo variable que pagar todavía.

C(0) = 2(0)² + 800(0) + C = C
Como C(0) debe ser igual al costo fijo (Bs 50.000):
C = 50.000

La función de costo total completa, ya con su constante determinada, es:

C(q) = 2q² + 800q + 50.000

Esta es la reconstrucción exacta que la cooperativa no tenía registrada, obtenida sin sumar el costo de cada tonelada una por una, solo a partir del costo marginal y del costo fijo.

Repaso rápido: sustitución, por partes y fracciones parciales

El costo marginal CMg(q)=4q+800 de arriba se integra directamente con la regla de la potencia, pero no toda función marginal real es tan simple. Los otros tres métodos ya vistos en E.2 del módulo de Cálculo siguen siendo necesarios en esta materia, ahora aplicados a funciones económicas más elaboradas:

- Sustitución (deshacer una composición): si, por ejemplo, CMg(q) = q/(3q²−5), el numerador está relacionado con la derivada del denominador, se sustituye u=3q²−5, du=6q dq (o sea, q dq = du/6):

∫ q/(3q²-5) dq = ∫ (1/6)du/u = (1/6)·ln|u| + C = (1/6)·ln|3q²-5| + C

- Integración por partes (producto de dos funciones de tipo distinto): ∫u dv = uv − ∫v du, derivada en E.2 desde la regla del producto de derivadas. Se vuelve necesaria cuando el costo o el ingreso marginal incluyen, por ejemplo, un factor logarítmico multiplicando a una potencia de q.
- Fracciones parciales (cociente de polinomios): si el denominador de una función marginal se puede factorizar en factores lineales distintos, se descompone en fracciones más simples, el mismo procedimiento de E.2, antes de integrar cada término por separado.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué el costo marginal (una tasa de cambio) contiene menos información que el costo total (una función completa), y qué información exactamente se pierde al derivar?
• Si en vez de conocer el costo fijo, la cooperativa solo supiera que C(100) = 130.000 Bs, ¿podrías igual determinar la constante C? Plantea cómo lo harías.
• ¿Qué otras variables económicas conoces que se relacionen como 'tasa de cambio' y 'función acumulada', de la misma forma que el costo marginal y el costo total?