F.2 Formas bilineales y cuadráticas

La parte simétrica de una matriz real

La matriz M de F.1 (Agrícola-Pecuario) no es simétrica: la celda (1,2) y la celda (2,1) tienen valores distintos (-0,0337 y -0,0025). Toda matriz cuadrada, sin embargo, se puede descomponer como la suma de una parte simétrica S = (M + Mᵀ)/2 y una parte antisimétrica, una construcción puramente algebraica, sin pretender que tenga el mismo significado económico de insumo-producto que M. Para M:

S = (M + Mᵀ)/2 = 0.0368  -0.0181
                 -0.0181   0.0918

Esta matriz simétrica S define una forma cuadrática: una expresión Q(x,y) = 0,0368x² − 0,0362xy + 0,0918y². ¿Esa expresión es siempre positiva, siempre negativa, o depende del punto (x,y)?

Formas cuadráticas y el criterio de los menores principales

Una forma cuadrática en dos variables es una expresión Q(x,y) = ax² + 2bxy + cy², que se puede escribir como Q(v) = vᵀSv, con S = [[a,b],[b,c]] una matriz simétrica. Clasificar una forma cuadrática significa determinar su signo para todo v ≠ 0:

- Definida positiva: Q(v) > 0 para todo v ≠ 0.
- Definida negativa: Q(v) < 0 para todo v ≠ 0.
- Indefinida: Q(v) puede ser positiva o negativa según el v elegido.

El criterio de los menores principales (Sylvester) clasifica una forma cuadrática 2×2 sin evaluar Q en ningún punto: si a > 0 y det(S) > 0, es definida positiva; si a < 0 y det(S) > 0, es definida negativa; si det(S) < 0, es indefinida. Para S = [[0,0368, -0,0181], [-0,0181, 0,0918]]: a = 0,0368 > 0, y det(S) = 0,0368×0,0918 − (−0,0181)² = 0,00337824 − 0,00032761 ≈ 0,00305 > 0. Ambos positivos: Q es definida positiva.

La conexión con los valores propios

Existe un resultado más fuerte, el teorema espectral: toda matriz simétrica tiene únicamente valores propios reales (a diferencia de una matriz cualquiera, que, como viste en F.1, podría no tenerlos), y su forma cuadrática asociada es definida positiva si y solo si todos sus valores propios son positivos. Es exactamente lo que vas a comprobar a continuación con S, usando el mismo componente de F.1: si ambos valores propios de S resultan positivos, confirmas, por un camino distinto al de los menores principales, que Q es definida positiva.

Esta clasificación no es un ejercicio abstracto: en optimización con varias variables (la Unidad 4 de Cálculo Aplicado), la matriz Hessiana de segundas derivadas de una función es simétrica, y su definitud, positiva, negativa o indefinida, es exactamente el criterio que distingue un mínimo de un máximo o de un punto de silla.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que el criterio de los menores principales y el criterio de los valores propios, siendo procedimientos tan distintos, siempre coinciden en su conclusión sobre la definitud de una matriz simétrica?
• Esta sección cerró con formas cuadráticas conectadas a la optimización multivariable. ¿Cómo se relaciona esto con la optimización de una sola variable que ya viste en Cálculo (segunda derivada, concavidad)?
• Si en vez de tomar la parte simétrica de M hubieras simetrizado la matriz completa 3×3 de A.1 (Agrícola-Pecuario-Carnes), ¿qué esperarías sobre el número de valores propios reales, y por qué el teorema espectral lo garantiza para cualquier tamaño de matriz simétrica?