F.1 Valores y vectores propios, polinomio característico y diagonalización

Dos sectores, una matriz más simple

De la matriz real (I − A) de A.1 (Agrícola, Pecuario, Carnes), este tema toma solo el bloque de los dos primeros sectores, Agrícola y Pecuario, la pareja más estrechamente ligada entre sí de toda la cadena:

M = 0.0368  -0.0337
   -0.0025   0.0918

¿Existe algún vector v (distinto de cero) tal que Mv sea simplemente un múltiplo escalar de v, es decir, que la transformación no cambie su dirección, solo su tamaño?

Valores y vectores propios

Un vector propio de una matriz cuadrada M es un vector v ≠ 0 tal que Mv = λv, para algún escalar λ, el valor propio asociado. Geométricamente: M transforma a v en un múltiplo de sí mismo, sin rotarlo ni desviarlo de su dirección original, solo estirándolo o encogiéndolo por el factor λ.

Para encontrar los valores propios, se reescribe la ecuación como (M − λI)v = 0. Como v ≠ 0, esto exige que (M − λI) sea singular, determinante cero (Sección A): det(M − λI) = 0 es el polinomio característico de M. Para una matriz 2×2, ese polinomio siempre tiene la forma λ² − (traza)λ + det(M) = 0, y se resuelve con la fórmula cuadrática.

Diagonalización: la misma transformación, en la base más simple

Si una matriz M de n×n tiene n valores propios reales y distintos, sus n vectores propios correspondientes forman una base de Rⁿ (Sección C). En esa base especial, M se diagonaliza: M = PDP⁻¹, donde D es una matriz diagonal con los valores propios, y P tiene los vectores propios como columnas. En la base de los vectores propios, la transformación deja de mezclar las coordenadas entre sí, cada eje simplemente se escala por su propio valor propio, la representación más simple posible de esa transformación (D.2).

Los valores y vectores propios de matrices de coeficientes técnicos no son solo un ejercicio algebraico: el teorema de Perron-Frobenius, un resultado clásico del análisis matricial aplicado a matrices con entradas no negativas, es la base matemática que garantiza que modelos dinámicos de insumo-producto, donde la producción de hoy depende de la de ayer mediante una matriz como esta, tengan una tasa de crecimiento de equilibrio bien definida, asociada al valor propio dominante (el de mayor magnitud) del sistema. No es el nivel de este tema demostrarlo, pero es la razón por la que los valores propios de matrices como (I − A) interesan más allá del aula.

Preguntas para pensar

• ¿Qué diferencia hay entre invertir una matriz (Sección A) y diagonalizarla (esta sección)? ¿Sirven para preguntas distintas, o son formas de resolver el mismo problema?
• El teorema de Perron-Frobenius se menciona aquí solo de forma conceptual. ¿Qué preguntas te genera sobre cómo se comportaría, con el tiempo, un sistema productivo regido por una matriz como esta?
• Si se hubiera tomado, en cambio, el bloque Pecuario-Carnes (en vez de Agrícola-Pecuario), ¿esperarías valores propios muy distintos? ¿Por qué?