E.2 El método símplex

El mismo problema, resuelto sin graficar

El método gráfico de E.1 depende de poder dibujar la región factible, algo que solo es práctico con dos variables. El método símplex, en cambio, resuelve el mismo tipo de problema de forma algebraica, moviéndose de vértice en vértice de la región factible sin necesidad de conocerlos todos de antemano, y funciona igual de bien con 2 variables que con 200.

El problema de la cooperativa exportadora, otra vez:

Maximizar:  Z = 2216 x₁ + 448 x₂
sujeto a:   x₁ + x₂ ≤ 500
            x₁ ≤ 300
            x₂ ≤ 450
            x₁, x₂ ≥ 0

Variables de holgura y la tabla símplex

El primer paso es convertir cada restricción "≤" en una igualdad, sumando una variable de holgura (slack) que representa la capacidad no utilizada: x₁ + x₂ + s₁ = 500, x₁ + s₂ = 300, x₂ + s₃ = 450. Con tres restricciones y dos variables originales, hay tres variables de holgura (s₁, s₂, s₃), una por restricción.

La solución básica inicial es la más simple posible: x₁ = x₂ = 0 (no exportar nada) y las holguras absorben toda la capacidad sin usar (s₁=500, s₂=300, s₃=450). Es factible, pero claramente no es la mejor (Z=0). El método símplex mejora esa solución paso a paso: en cada iteración, elige una variable que entra a la base (la que más aumentaría Z) y una que sale (la que primero se vuelve cero, mediante la prueba de la razón mínima), hasta que ya no exista ninguna mejora posible.

Preguntas para pensar

• Si la cooperativa agregara un tercer producto de exportación (por ejemplo, aceite de soya) con su propio precio y su propia restricción de disponibilidad, ¿podrías resolver ese problema con el método gráfico de E.1? ¿Y con símplex?
• ¿Qué significaría, en este problema, que en algún paso intermedio del símplex la columna pivote no tuviera ningún coeficiente positivo?
• El símplex explora vértices de la región factible uno a la vez, mejorando Z en cada paso. ¿En qué se parece esta lógica a la eliminación de Gauss-Jordan de la Sección A?