E.1 Formulación del modelo y solución gráfica

Precios reales, una decisión de mezcla de exportación

Según los datos del INE de exportaciones bolivianas de 2023, el precio implícito de exportación fue de aproximadamente 2.216 USD por tonelada de quinua y 448 USD por tonelada de soya (valor total exportado dividido entre volumen total exportado de cada producto).

Para trabajar el método con estos precios reales, supongamos, de forma ilustrativa, no como un dato institucional adicional, que una cooperativa exportadora planifica su próxima temporada con: una capacidad logística total de 500 toneladas (transporte y almacenamiento combinados), una disponibilidad máxima de 300 toneladas de quinua y de 450 toneladas de soya. Sea x₁ las toneladas de quinua y x₂ las toneladas de soya a exportar. ¿Cuánto de cada producto maximiza el ingreso total?

Formular el modelo: función objetivo y restricciones

Un problema de programación lineal tiene tres partes: una función objetivo lineal que se quiere maximizar o minimizar, un conjunto de restricciones lineales (desigualdades) que limitan las variables, y la condición de que las variables no sean negativas. El escenario de arriba se formula así:

Maximizar   Z = 2216 x₁ + 448 x₂
sujeto a:   x₁ + x₂ ≤ 500   (capacidad logística total)
            x₁ ≤ 300         (disponibilidad de quinua)
            x₂ ≤ 450         (disponibilidad de soya)
            x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

El conjunto de todos los pares (x₁, x₂) que cumplen todas las restricciones a la vez se llama región factible. Cuando las restricciones son lineales, esa región siempre es un polígono convexo (Sección G) con un número finito de vértices (esquinas).

El teorema fundamental: el óptimo está en un vértice

Un resultado central de la programación lineal, que se demuestra formalmente más adelante, pero que puede verificarse aquí a mano, es que, si existe una solución óptima, siempre se encuentra en al menos uno de los vértices de la región factible, nunca en un punto interior. Esto reduce el problema de "probar infinitos puntos posibles" a "evaluar la función objetivo en un puñado de vértices".

Para el sistema de arriba, los vértices de la región factible son (0,0), (300,0), (300,200) (donde se cruzan x₁=300 y x₁+x₂=500), (50,450) (donde se cruzan x₂=450 y x₁+x₂=500) y (0,450). Evaluando Z = 2216x₁ + 448x₂ en cada uno: Z(0,0)=0; Z(300,0)=664.800; Z(300,200)=754.400; Z(50,450)=312.400; Z(0,450)=201.600. El máximo se alcanza en (300, 200): exportar toda la quinua disponible y usar la capacidad restante en soya, no al revés, porque el precio por tonelada de la quinua es casi cinco veces mayor.

Preguntas para pensar

• Con solo dos variables, evaluar los vértices a mano es manejable. ¿Qué pasaría si el problema tuviera diez productos en vez de dos? ¿Seguiría siendo práctico este método?
• Si el precio de la soya subiera lo suficiente como para superar al de la quinua, ¿qué vértice esperarías que se volviera óptimo?
• ¿Qué otras restricciones reales (más allá de capacidad logística y disponibilidad) podrían limitar la decisión de exportación de una cooperativa boliviana concreta?