D.2 Matriz asociada a una transformación lineal

De dónde salen, exactamente, las columnas de (I − A)

En D.1 viste que T(x) = (I − A)x es una transformación lineal de R³ en R³. Toda la información de una transformación lineal entre espacios de dimensión finita puede resumirse en una sola matriz, pero ¿de dónde salen exactamente los números de esa matriz?

La respuesta está en la base canónica de R³: e₁ = (1,0,0) representa "una unidad de producción solo de Agrícola, nada de Pecuario ni Carnes"; e₂ = (0,1,0) y e₃ = (0,0,1), análogamente para Pecuario y Carnes.

Las columnas son las imágenes de la base

Para cualquier transformación lineal T: Rⁿ → Rᵐ, la matriz asociada a T (respecto a las bases canónicas) se construye así: la columna j de la matriz es exactamente T(eⱼ), la imagen del j-ésimo vector de la base canónica del dominio. Esto no es una coincidencia ni una regla arbitraria: se deduce directamente de la linealidad: cualquier vector x = (x₁, x₂, x₃) se puede escribir como x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃, así que T(x) = x₁T(e₁) + x₂T(e₂) + x₃T(e₃), una combinación lineal de las imágenes de la base, con los mismos coeficientes x₁, x₂, x₃.

Aplicado a T(x) = (I − A)x con la matriz real de A.1:

T(e₁) = (I − A)·(1,0,0) = (0.0368, -0.0025, -0.0083)   (primera columna)
T(e₂) = (I − A)·(0,1,0) = (-0.0337, 0.0918, -0.0364)   (segunda columna)
T(e₃) = (I − A)·(0,0,1) = (0, 0, 0.0032)                (tercera columna)

T(e₁), qué le pasa a la producción cuando solo Agrícola produce una unidad, es, en sí mismo, económicamente interpretable: 0.0368 de demanda final propia, −0.0025 "absorbido" en la contabilidad de Pecuario, −0.0083 en la de Carnes (los signos negativos reflejan que Agrícola consume insumos de esos sectores, restándolos de su demanda final disponible).

Preguntas para pensar

• ¿Qué interpretación económica le darías a T(e₃) = (0, 0, 0.0032), la columna de Carnes? ¿Por qué las dos primeras componentes son exactamente cero?
• Si tuvieras que explicarle a alguien sin formación matemática por qué 'las columnas de una matriz son las imágenes de la base', ¿qué ejemplo cotidiano usarías?
• La Sección F trabaja con una versión reducida de esta misma matriz (solo Agrícola-Pecuario). ¿Qué esperarías que cambie en su matriz asociada al quitar el sector Carnes del análisis?