D.1 Concepto, núcleo e imagen de una transformación lineal

El mismo modelo de Leontief, visto como una función

Durante toda esta sección trabajaste con (I − A), la matriz real de la cadena Agrícola-Pecuario-Carnes (INE, 2014), como un objeto que se invierte, se determina, se clasifica por rango. Pero (I − A) también puede leerse como una función: T(x) = (I − A)x, que toma un vector de producción total x y devuelve el vector de demanda final d que ese nivel de producción deja disponible después de cubrir los insumos internos.

¿Qué produce esta función cuando x = 0? ¿Y existe algún x distinto de cero que la función mande a 0?

Transformación lineal: preservar suma y escala

Una función T: Rⁿ → Rᵐ es una transformación lineal si preserva las dos operaciones del espacio vectorial: T(u + v) = T(u) + T(v), y T(c·u) = c·T(u) para cualquier escalar c. Toda transformación que se pueda escribir como T(x) = Mx, con M una matriz, es automáticamente lineal, y (I − A)x lo es, porque la multiplicación de matrices se distribuye sobre la suma y conmuta con los escalares.

Dos subconjuntos son especialmente importantes para entender una transformación lineal:

- El núcleo (kernel) de T es el conjunto de todos los x que T manda al vector cero: núcleo(T) = {x : T(x) = 0}. Siempre contiene al menos al vector cero.
- La imagen de T es el conjunto de todos los resultados posibles: imagen(T) = {T(x) : x ∈ Rⁿ}.

El núcleo y la imagen de (I − A), ya calculados en B.2

Para la matriz (I − A) de la cadena Agrícola-Pecuario-Carnes, ya resolviste exactamente esta pregunta, sin llamarla todavía "núcleo", en B.2: el sistema homogéneo (I − A)x = 0 solo tiene la solución trivial x = 0, porque (I − A) tiene rango completo (su determinante, calculado en A.2, es distinto de cero). En el lenguaje de esta unidad: núcleo(T) = {0}, el conjunto más pequeño posible.

Una transformación lineal cuyo núcleo es solo {0} se llama inyectiva: nunca manda dos vectores distintos al mismo resultado. Y cuando la matriz de una transformación de Rⁿ en Rⁿ es no singular (como aquí), la transformación es además sobreyectiva: su imagen es todo Rⁿ, cualquier vector de demanda final d, sin excepción, tiene un vector de producción x que lo genera. Es precisamente lo que permitió que A.1, B.1 y B.2 siempre encontraran una solución única, sin importar qué política de demanda se simulara: T(x) = (I − A)x es una transformación biyectiva de R³ en R³, y por eso tiene inversa, la misma matriz (I − A)⁻¹ que calculaste tres veces distintas en la Sección A.

Preguntas para pensar

• Si (I − A) hubiera resultado singular (determinante cero), ¿qué le habría pasado al núcleo y a la imagen de T? ¿Qué implicaría eso para la posibilidad de invertir el modelo de Leontief?
• ¿Se te ocurre alguna transformación económica que no sea lineal, es decir, que no cumpla T(u+v)=T(u)+T(v)? ¿Por qué crees que el modelo de Leontief eligió, deliberadamente, una relación lineal entre insumos y producción?
• El teorema de la dimensión (rango-nulidad) dice que dim(núcleo) + dim(imagen) = n. Verifica que se cumple aquí: dim(núcleo)=0, dim(imagen)=3, n=3.