C.3 Base y dimensión de un espacio vectorial

¿Alcanzan tres años reales para generar todo R³?

En C.2 viste que v_2021 no es combinación lineal de v_2019 y v_2020, cae fuera del plano que esos dos vectores generan. Eso sugiere algo más fuerte: los tres vectores juntos podrían ser suficientes para generar todo el espacio R³, no solo un plano dentro de él.

v_2019 = (90.655, 472.303, 243.995)
v_2020 = (92.414, 524.794, 261.163)
v_2021 = (61.409, 801.493, 571.754)

¿Forman estos tres vectores reales una base de R³?

Base y dimensión

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que es, a la vez, linealmente independiente y generador (cualquier vector del espacio puede escribirse como combinación lineal de la base). La dimensión del espacio es el número de vectores que tiene cualquiera de sus bases, siempre el mismo número, sin importar qué base concreta se elija. R³ tiene dimensión 3; su base más simple es la base canónica: e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1).

Para tres vectores en R³, hay una forma directa de comprobar si forman una base: se arma la matriz cuyas columnas son esos tres vectores, y se calcula su determinante (Sección A). Si el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes y, al ser exactamente tres vectores en un espacio de dimensión 3, automáticamente también generan todo el espacio: forman una base.

Preguntas para pensar

• ¿Qué significa, en términos económicos (no solo algebraicos), que estos tres años de exportación formen una base de R³?
• La base canónica (e₁, e₂, e₃) representa exportar un solo producto a la vez. ¿Qué ventaja tiene usar, en cambio, tres años reales como base, o es siempre preferible la base canónica?
• Si Bolivia agregara un cuarto producto de exportación (por ejemplo, estaño) a este análisis, ¿cuántos vectores como mínimo harían falta para tener una base del nuevo espacio, y por qué?