C.2 Combinaciones lineales, dependencia e independencia

¿2021 fue solo una mezcla de 2019 y 2020?

Con los vectores reales de exportación (quinua, soya, aceite de soya, en millones de USD):

v_2019 = (90.655, 472.303, 243.995)
v_2020 = (92.414, 524.794, 261.163)
v_2021 = (61.409, 801.493, 571.754)

¿Existen números c₁ y c₂ tales que c₁·v_2019 + c₂·v_2020 = v_2021? Si existen, 2021 fue, algebraicamente, una combinación de los dos años anteriores. Si no existen, 2021 fue algo que esos dos años, por sí solos, no podían producir.

Combinación lineal, dependencia e independencia

Una combinación lineal de un conjunto de vectores es cualquier suma de esos vectores multiplicados por escalares: c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los demás (información redundante); es linealmente independiente si ninguno puede, cada vector aporta una dirección genuinamente nueva.

Preguntar si v_2021 es combinación lineal de v_2019 y v_2020 es, en la práctica, plantear un sistema de ecuaciones: cada componente del vector da una ecuación, con c₁ y c₂ como incógnitas.

90.655 c₁ + 92.414 c₂ = 61.409
472.303 c₁ + 524.794 c₂ = 801.493
243.995 c₁ + 261.163 c₂ = 571.754

Son tres ecuaciones con solo dos incógnitas, el mismo tipo de sistema sobredeterminado de la Sección B. Resolviendo las dos primeras ecuaciones se obtiene c₁ ≈ 5,69 y c₂ ≈ −3,53; pero al sustituir esos valores en la tercera ecuación, el resultado no coincide con 571,754, se obtiene un valor muy distinto. Por el teorema de Rouché-Frobenius (B.2), esto significa que el sistema es incompatible: no existen c₁, c₂ que satisfagan las tres ecuaciones a la vez. v_2021 no es combinación lineal de v_2019 y v_2020: el vector de 2021 queda fuera del plano que esos dos años pueden generar entre sí. Algo cambió estructuralmente, no fue una simple mezcla escalada del pasado reciente, consistente con la disrupción de la pandemia y el posterior boom de precios de materias primas de 2021.

Preguntas para pensar

• Si v_2021 hubiera resultado sí ser combinación lineal de v_2019 y v_2020, ¿qué habría dicho eso sobre la estructura de las exportaciones agrícolas bolivianas en esos tres años?
• ¿Qué otro par de años esperarías que sí estén relacionados por una combinación lineal simple, y cuáles esperarías que no? ¿Por qué?
• La independencia lineal aparece tanto aquí (vectores de exportación) como en el determinante de la Sección A (invertibilidad de una matriz). ¿Qué tienen en común ambas ideas?