C.1 Vectores, espacios y subespacios vectoriales

Tres productos, un solo vector

El INE registra, año a año, el valor de las exportaciones bolivianas de quinua, soya y aceite de soya (en millones de USD). Cada año puede representarse como un vector en R³: v = (quinua, soya, aceite de soya).

Con los datos reales de 2019 y 2020:

v_2019 = (90.655, 472.303, 243.995)
v_2020 = (92.414, 524.794, 261.163)

¿Qué significa, en términos económicos y algebraicos, calcular v_2019 + v_2020? ¿Y 2 × v_2019?

Espacio vectorial: sumar y escalar sin salirse del conjunto

Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (los vectores) que se pueden sumar entre sí y multiplicar por un escalar (un número), sin salirse nunca del conjunto, y cumpliendo un puñado de propiedades esperables: la suma es conmutativa y asociativa, existe un vector cero (el que no cambia nada al sumarlo), y cada vector tiene un opuesto. R³, ternas ordenadas de números reales, como los vectores de exportación de arriba, es el ejemplo más directo: sumar dos vectores de R³ es sumar componente a componente, y multiplicar por un escalar es multiplicar cada componente por ese número.

v_2019 + v_2020 = (90.655+92.414, 472.303+524.794, 243.995+261.163) = (183.069, 997.097, 505.158): el vector de exportación combinada de ambos años.

2 × v_2019 = (181.31, 944.606, 487.99): lo que exportaría Bolivia si duplicara exactamente la composición de 2019, manteniendo la misma proporción entre los tres productos.

Subespacios: un espacio vectorial dentro de otro

Un subespacio vectorial de R³ es un subconjunto que es, en sí mismo, un espacio vectorial con las mismas operaciones: debe contener al vector cero, y debe ser cerrado bajo suma y bajo multiplicación por escalar (sumar dos vectores del subconjunto, o escalar uno, debe dar un resultado que sigue estando en el subconjunto).

Por ejemplo: el conjunto de todos los vectores de la forma (a, b, 0), exportaciones de quinua y soya, sin aceite de soya, sí es un subespacio de R³. Contiene al vector cero (0,0,0); sumar dos vectores de esa forma da otro de la misma forma; escalar uno también. En cambio, el conjunto de vectores cuyas tres componentes suman exactamente 1.000 (millones de USD) no es un subespacio: no contiene al vector cero, y duplicar un vector de ese conjunto ya no suma 1.000.

Preguntas para pensar

• ¿Qué otros subconjuntos de este espacio de exportaciones (quinua, soya, aceite de soya) se te ocurren que sí sean subespacios? ¿Y alguno que parezca subespacio pero no lo sea?
• Si Bolivia decidiera dejar de exportar aceite de soya por completo, ¿en qué subespacio de R³ quedaría atrapado el vector de exportaciones de ese año en adelante?
• ¿Tiene sentido económico sumar los vectores de exportación de dos años distintos (v_2019 + v_2020), o es una operación puramente matemática sin interpretación real?