B.2 Sistemas homogéneos, rango de una matriz y el teorema de Rouché-Frobenius

¿Puede una economía sostenerse sin demanda final?

Todos los sistemas resueltos hasta ahora (A.1, B.1) tenían un vector de demanda final d distinto de cero: alguien, fuera del sistema productivo, consumía o exportaba parte de la producción. Pero cabe una pregunta distinta: ¿existe alguna combinación de producción x, distinta de cero, que el sistema pudiera sostener sin ninguna demanda final, es decir, donde toda la producción se consumiera internamente entre los tres sectores?

Esa pregunta es exactamente el sistema homogéneo (I − A)x = 0. Tiene sentido económico real: si existiera una solución no trivial (x ≠ 0), significaría que Agrícola, Pecuario y Carnes podrían sostener un nivel de actividad productiva, vendiéndose insumos entre sí, sin depender de ningún consumo final, exportación ni inversión. Antes de resolverlo, conviene saber si esa solución existe siquiera, y ahí es donde entra el concepto de rango de una matriz y el teorema de Rouché-Frobenius.

Sistemas homogéneos: solución trivial y rango

Un sistema homogéneo tiene la forma Mx = 0 (el vector del lado derecho es todo ceros). x = 0, la solución trivial, siempre es una solución válida de cualquier sistema homogéneo, sin importar M. La pregunta interesante es si existe alguna solución no trivial (x ≠ 0).

Esto depende del rango de M: el número de filas (o columnas) linealmente independientes de la matriz, es decir, cuántas de ellas no pueden obtenerse como combinación de las demás. Para una matriz cuadrada M de tamaño n×n:

- Si rango(M) = n (rango completo, equivalente a det(M) ≠ 0): el sistema homogéneo solo tiene la solución trivial x = 0.
- Si rango(M) < n (matriz singular, det(M) = 0): el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones no triviales.

En A.2 ya calculaste det(I − A) ≈ 0.0000105 para la cadena Agrícola-Pecuario-Carnes: un número minúsculo, pero distinto de cero. Eso significa rango(I − A) = 3 = n. Por lo tanto, el sistema homogéneo (I − A)x = 0 solo admite la solución trivial x = 0: no existe ninguna combinación de producción positiva que estos tres sectores puedan sostener sin demanda final externa. La economía, en este recorte de tres sectores, necesita depender de algo fuera de sí misma, consumo, exportación o inversión, para tener sentido producir en absoluto.

El teorema de Rouché-Frobenius: clasificar antes de resolver

El teorema de Rouché-Frobenius permite saber, antes de resolver un sistema, si tiene solución y cuántas, comparando el rango de la matriz de coeficientes A con el rango de la matriz ampliada [A | b] (la matriz de coeficientes más la columna de resultados):

- Compatible determinado: rango(A) = rango([A | b]) = n (número de incógnitas) → solución única.
- Compatible indeterminado: rango(A) = rango([A | b]) < n → infinitas soluciones.
- Incompatible: rango(A) ≠ rango([A | b]) → ninguna solución.

Como (I − A) tiene rango completo (3 = número de incógnitas), el sistema (I − A)x = d es compatible determinado para cualquier vector d que se elija, sin importar qué política se simule. Es exactamente la garantía matemática detrás de por qué Gauss-Jordan (A.1) y Cramer (B.1) funcionaron sin problemas en cada caso: con una matriz de coeficientes técnicos de rango completo, siempre existe una y solo una producción total que satisface cualquier meta de demanda final.

Preguntas para pensar

• Si al ampliar el análisis a las 35 actividades económicas del INE, la matriz (I − A) completa resultara tener rango menor a 35, ¿qué implicaría eso sobre la estructura productiva boliviana?
• ¿Por qué crees que, en la práctica, la mayoría de las matrices reales de insumo-producto tienden a tener rango completo, en vez de ser singulares?
• Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones. En un contexto de planificación económica, ¿sería eso una ventaja (más flexibilidad) o una desventaja (ambigüedad sobre qué hacer)? Justifica.