B.1 Clasificación de sistemas y el teorema de Cramer

Una política de fomento agrícola, resuelta como sistema de ecuaciones

En A.1 invertiste (I − A) para encontrar la matriz completa de multiplicadores. Pero muchas veces un analista no necesita la inversa entera, solo necesita la solución x de un sistema (I − A)x = d para un vector concreto de demanda final d. Invertir toda la matriz para resolver un solo caso es hacer más trabajo del necesario; el teorema de Cramer resuelve directamente ese sistema, sin construir la inversa completa.

El caso: el gobierno boliviano lanza una política de fomento a las exportaciones agrícolas que aumenta la demanda final de Productos Agrícolas no Industriales en 100.000 miles de bolivianos, sin cambiar la demanda final de Pecuario ni de Carnes. El sistema a resolver es (I − A)x = d, con:

(I − A) =
  0.0368  -0.0337   0
 -0.0025   0.0918   0
 -0.0083  -0.0364   0.0032

d = (100.000, 0, 0)

¿Cuánto debe crecer x_agrícola, x_pecuario y x_carnes?

La regla de Cramer: un sistema, un determinante a la vez

Para un sistema Mx = d con M cuadrada y no singular (det(M) ≠ 0), cada incógnita se calcula así:

x_i = det(M_i) / det(M)

donde M_i es la matriz M con su columna i reemplazada por el vector d. Aplicado al sistema de arriba, con det(M) = 0.0000105407, ya calculado en A.2:

Para x_agrícola (columna 1 reemplazada por d):

M_1 = 100000  -0.0337   0
           0   0.0918   0
           0  -0.0364   0.0032

det(M_1) = 100000 × (0.0918×0.0032 − 0×(−0.0364)) = 100000 × 0.00029376 = 29.376
x_agrícola = 29.376 / 0.0000105407 ≈ 2.786.890

Para x_pecuario (columna 2 reemplazada por d):

M_2 =  0.0368  100000   0
      -0.0025       0   0
      -0.0083       0   0.0032

det(M_2) = 100000 × [−((−0.0025×0.0032) − (0×−0.0083))] = 100000 × 0.000008 = 0.8
x_pecuario = 0.8 / 0.0000105407 ≈ 75.900

Para x_carnes (columna 3 reemplazada por d):

M_3 =  0.0368  -0.0337  100000
      -0.0025   0.0918       0
      -0.0083  -0.0364       0

det(M_3) = 100000 × ((−0.0025×−0.0364) − (0.0918×−0.0083)) = 100000 × 0.00085294 = 85.294
x_carnes = 85.294 / 0.0000105407 ≈ 8.091.820

El resultado es llamativo: una política dirigida a la demanda agrícola exige, en total, una producción mayor en el sector cárnico (8,09 millones) que en el propio sector agrícola (2,79 millones). Esto no es un error: en los datos reales del INE, el sector Carnes le vende insumos al sector Agrícola (118.839 miles de Bs, ver la tabla de A.1), así que cuando Agrícola necesita producir más, arrastra consigo una demanda derivada todavía mayor sobre Carnes.

Preguntas para pensar

• Si el Ministerio de Economía tuviera que evaluar diez políticas distintas (diez vectores d diferentes) sobre la misma matriz (I − A), ¿seguiría siendo Cramer el método más eficiente, o convendría más invertir la matriz una sola vez (A.1) y multiplicarla por cada d?
• El resultado de este tema muestra que una política agrícola termina golpeando más fuerte al sector cárnico que al agrícola mismo. ¿Qué implicaría esto para el diseño de una política pública que quisiera apoyar específicamente al sector agrícola sin sobrecargar a otros sectores?
• ¿Qué información entrega el signo de cada determinante (positivo o negativo) en la regla de Cramer, más allá de su magnitud?