A.3 Matriz inversa por el método de adjuntas

Verificar el resultado de A.1 por un camino independiente

Gauss-Jordan (A.1) y el determinante por Sarrus/cofactores (A.2) parecen métodos separados, pero se conectan en una tercera fórmula: la matriz adjunta. Si ya calculaste, en A.2, el determinante de (I − A) para la cadena Agrícola-Pecuario-Carnes (≈ 0.0000105) y los cofactores de esa misma matriz, ya tienes casi todo lo necesario para reconstruir su inversa sin usar Gauss-Jordan en absoluto, una forma de comprobar, con matemática distinta, que el resultado de A.1 era correcto.

La fórmula: A⁻¹ = adj(A) / det(A)

La matriz adjunta de A, escrita adj(A), es la transpuesta de la matriz de cofactores: se calcula el cofactor de cada elemento (como en A.2, con su signo alternado), se arma la matriz de cofactores completa, y luego se transpone (filas por columnas). La inversa se obtiene dividiendo cada elemento de esa adjunta entre el determinante de A:

A⁻¹ = (1 / det(A)) × adj(A)

Aplicado a M = (I − A) de A.1, con det(M) ≈ 0.0000105407 (calculado en A.2), la matriz de cofactores de M es:

C = [ 0.00029376   0.00000800   0.00085294 ]
    [ 0.00010784   0.00011776   0.00161923 ]
    [ 0            0            0.00329399 ]

Su transpuesta, la adjunta, es:

adj(M) = [ 0.00029376   0.00010784   0           ]
         [ 0.00000800   0.00011776   0           ]
         [ 0.00085294   0.00161923   0.00329399  ]

Dividiendo cada celda entre det(M) = 0.0000105407:

M⁻¹ = [ 27.8689   10.2308     0     ]
      [  0.7590   11.1719     0     ]
      [ 80.9182  153.6159   312.5   ]

Son exactamente los mismos números que obtuviste en A.1 por Gauss-Jordan, incluyendo los multiplicadores de 11.17 y 312.5 que verificaste ahí. Dos métodos completamente distintos (eliminación de filas frente a cofactores y determinante) llegan al mismo resultado, porque ambos son formas válidas de resolver la misma pregunta algebraica.

Preguntas para pensar

• Si tuvieras que programar una rutina para invertir matrices de forma automática (como hacen los paquetes estadísticos), ¿elegirías Gauss-Jordan o el método de la adjunta? Justifica con lo que viste en A.1, A.2 y A.3.
• ¿Qué utilidad práctica tiene, para un analista económico, poder verificar un resultado matricial por dos métodos independientes antes de usarlo en un informe de política pública?
• La Sección A completa, A.1, A.2 y A.3, trabajó siempre con la misma cadena productiva de tres sectores. ¿Qué se ganó al reutilizar los mismos datos en vez de usar un ejemplo distinto en cada tema?