A.2 Determinantes: Sarrus, cofactores y Gauss-Chio

La misma economía boliviana, vista ahora a través de un número

En A.1 invertiste la matriz (I − A) de tres sectores bolivianos reales, Agrícola, Pecuario y Carnes, con datos del INE (Matriz de Insumo-Producto 2014), sin comprobar antes si esa inversión era posible. Funcionó porque, en este caso, sí era invertible. Pero una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero; si hubiera dado cero, todo el procedimiento de Gauss-Jordan habría fallado a mitad de camino (una columna entera se habría vuelto cero, sin ningún pivote posible).

Este tema trabaja con las mismas dos matrices de A.1, la matriz de coeficientes técnicos A y la matriz (I − A), pero ahora para calcular su determinante por tres caminos distintos: la regla de Sarrus (solo para matrices 3×3), el método de cofactores o de Laplace (funciona para cualquier tamaño) y el método de Gauss-Chio (condensación, útil cuando los cofactores se vuelven muy pesados de calcular a mano).

La regla de Sarrus, paso a paso, sobre la matriz de coeficientes técnicos

La regla de Sarrus solo aplica a matrices 3×3: se repiten las dos primeras columnas a la derecha de la matriz, se suman los productos de las tres diagonales que bajan hacia la derecha, y se restan los productos de las tres diagonales que bajan hacia la izquierda.

Aplicada a la matriz de coeficientes técnicos A de A.1:

0.9632  0.0337  0      | 0.9632  0.0337
 0.0025  0.9082  0      | 0.0025  0.9082
 0.0083  0.0364  0.9968 | 0.0083  0.0364

Diagonales hacia la derecha (se suman):
(0.9632×0.9082×0.9968) + (0.0337×0×0.0083) + (0×0.0025×0.0364)
= 0.87198 + 0 + 0 = 0.87198

Diagonales hacia la izquierda (se restan):
(0×0.9082×0.0083) + (0.9632×0×0.0364) + (0.0337×0.0025×0.9968)
= 0 + 0 + 0.00008 = 0.00008

det(A) = 0.87198 − 0.00008 = 0.8719 (aproximado a cuatro decimales)

Como det(A) ≠ 0, la matriz A es no singular. Pero el determinante que de verdad importa para la inversión de A.1 no es este: es el de (I − A).

Cofactores, Gauss-Chio y un número diminuto con una explicación económica

El método de cofactores (o de Laplace) generaliza la idea a matrices de cualquier tamaño: se elige una fila o columna, y el determinante se calcula como la suma de cada elemento multiplicado por su cofactor, el determinante de la submatriz que queda al eliminar su fila y columna, con signo alternado (+/−) según la posición. Es el método que usa el propio INE cuando trabaja con matrices de 35×35: la regla de Sarrus, que solo sirve para 3×3, sería inaplicable ahí.

El método de Gauss-Chio (condensación) es una alternativa práctica cuando los cofactores empiezan a involucrar fracciones incómodas: convierte el cálculo del determinante en una secuencia de determinantes 2×2 más pequeños, dividiendo por el pivote anterior en cada paso, una idea emparentada con la eliminación gaussiana de Gauss-Jordan que ya conoces de A.1, aplicada aquí al determinante en vez de a la inversa completa.

Aplicando cofactores a (I − A), la matriz que sí invertiste en A.1, el determinante da:

det(I − A) ≈ 0.0000105 (del orden de 10⁻⁵)

Es un número minúsculo, pero distinto de cero: por eso la inversión de A.1 fue posible. Y su pequeñez no es un defecto de los datos: es la explicación matemática de por qué los multiplicadores de Leontief de A.1 fueron tan grandes (algunos superaron 300). Por la regla de Cramer, cada entrada de la matriz inversa se calcula dividiendo un determinante entre det(I − A); cuando ese denominador es casi cero, el resultado se amplifica fuertemente. Un determinante pequeño es, en otras palabras, la firma numérica de una economía donde los sectores dependen enormemente de sí mismos.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué la regla de Sarrus no sirve para calcular el determinante de la matriz completa de 35×35 que publica el INE, y qué método sí generaliza a ese tamaño?
• Si un economista calculara el determinante de (I − A) para toda la matriz de 35 sectores y obtuviera un número muy cercano a cero, ¿qué le estaría diciendo eso sobre la estructura de esa economía?
• El método de Gauss-Chio evita fracciones dividiendo por el pivote anterior en cada paso, una idea parecida a la de Gauss-Jordan (A.1). ¿Por qué crees que casi todos los métodos matriciales manuales terminan apoyándose en la misma idea de 'usar un pivote y eliminar el resto'?