Inversión de matrices por Gauss-Jordan y la matriz de Leontief

Tres sectores bolivianos reales, entrelazados por sus propios insumos

El Instituto Nacional de Estadística (INE) publica, cada cierto número de años, la Matriz de Insumo-Producto de Bolivia: una tabla que registra cuánto le compra cada sector de la economía a cada otro sector para poder producir. La última matriz disponible es la de 2014, con 35 actividades económicas. De esas 35, este tema toma tres que forman una cadena productiva real y fácil de seguir: Productos Agrícolas no Industriales, Pecuarios y Carnes Frescas y Elaboradas: la agricultura alimenta a la ganadería, y ambas alimentan a la industria cárnica.

La tabla de transacciones entre estos tres sectores en 2014 (en miles de bolivianos) es esta:

Vendedor \ Comprador     Agrícola      Pecuario      Carnes
Agrícola               13.764.438      259.963           0
Pecuario                   36.077    7.002.265           0
Carnes                    118.839      280.984  12.247.655

con una Producción Bruta total (VBP) de 14.290.076 (Agrícola), 7.710.084 (Pecuario) y 12.286.681 (Carnes). Dividiendo cada columna entre el VBP de ese sector se obtiene la matriz de coeficientes técnicos A: cuánto necesita comprarle cada sector a cada otro para producir una unidad de su propio valor. La pregunta central de este tema, cuánto debe producir en total cada sector para satisfacer una demanda final concreta, se responde invirtiendo la matriz (I − A). Y esa inversión, hecha a mano, se hace exactamente por el método que se desarrolla aquí: Gauss-Jordan.

Qué es invertir una matriz, y por qué no siempre se puede

La matriz inversa de una matriz cuadrada A, llamada A⁻¹, es la matriz que cumple A × A⁻¹ = I (la matriz identidad). En términos prácticos, sirve para 'deshacer' el efecto de A: si un sistema de ecuaciones se escribe como A·x = b, entonces x = A⁻¹·b resuelve directamente el sistema, sin importar qué valores tenga b.

No toda matriz cuadrada tiene inversa. Una matriz es singular (no invertible) cuando su determinante es igual a cero; es no singular (invertible) cuando su determinante es distinto de cero. Una forma de calcular la inversa, además del método de adjuntas que verás en A.3, es el método de Gauss-Jordan: se construye la matriz aumentada [A | I], y se aplican operaciones de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar, sumar un múltiplo de una fila a otra) hasta que el lado izquierdo se convierta en la identidad. Cuando eso ocurre, el lado derecho, que empezó siendo I, se ha transformado exactamente en A⁻¹. Es el mismo método de eliminación que ya usaste en Álgebra para resolver sistemas de ecuaciones, aplicado ahora a las dos mitades de una matriz aumentada a la vez.

El modelo de Leontief: producción total = insumos internos + demanda final

El economista ruso-estadounidense Wassily Leontief (Premio Nobel de Economía 1973) formalizó esta idea: si x es el vector de producción total de cada sector, A es la matriz de coeficientes técnicos, y d es el vector de demanda final (lo que se consume o exporta, fuera del propio sistema productivo), entonces:

x = Ax + d

Es decir: la producción total de cada sector se reparte entre lo que otros sectores necesitan como insumo (Ax) y lo que sale del sistema como demanda final (d). Despejando x:

x − Ax = d → (I − A)x = d → x = (I − A)⁻¹ d

La matriz (I − A)⁻¹ se llama matriz inversa de Leontief, y cada una de sus celdas es un multiplicador: cuánto tiene que crecer la producción total del sector i por cada unidad adicional de demanda final del sector j. Con los datos reales de Bolivia que abren este tema, vas a calcular esa matriz paso a paso, y vas a encontrar multiplicadores sorprendentemente altos (algunos superan 300), precisamente porque el sector agrícola y el pecuario reutilizan más del 90% de su propio valor de producción como insumo de sí mismos: una parte muy pequeña de demanda final termina exigiendo, en cadena, una producción total mucho mayor.

Preguntas para pensar

• Esta matriz de Leontief usa solo 3 de las 35 actividades económicas que registra el INE. ¿Cómo esperarías que cambiaran los multiplicadores si se incluyeran las 35, por ejemplo, si la agricultura también comprara insumos de transporte, electricidad o servicios financieros, no solo de sí misma?
• El multiplicador de Carnes sobre sí mismo (312,5) es enorme comparado con el de Agrícola sobre Pecuario (10,23). ¿Qué política económica (por ejemplo, un subsidio o un impuesto) tendría un efecto más amplificado sobre el resto de la economía, según esta matriz: una dirigida a aumentar la demanda final de carne, o una dirigida a aumentar la demanda final de productos pecuarios?
• ¿Por qué crees que un modelo tan antiguo (Leontief lo formuló en los años treinta y cuarenta) sigue siendo la base de las matrices de insumo-producto que publican hoy institutos de estadística como el INE boliviano?