De lo marginal a lo total: aplicaciones económicas

El área que faltaba interpretar

En E.1 reconstruiste CT(x) = 15x + 100 a partir de CMg(x) = 15, usando la condición CT(0) = 100. Ahí calculaste CT(20) = 400 (100 de costo fijo, 300 de costo variable). Ese número, 300, tiene una interpretación geométrica exacta que todavía no usaste: es el área bajo la curva de costo marginal, entre x=0 y x=20.

El costo variable total como área bajo el costo marginal

Esta es, en esencia, la idea del Teorema Fundamental del Cálculo: la integral definida de una función marginal, entre dos puntos, es exactamente el cambio acumulado en la función total correspondiente:

CT(b) − CT(a) = ∫ₐᵇ CMg(x) dx

Con CMg(x) = 15 constante, entre x=0 y x=20: ∫₀²⁰ 15 dx = 15×20 = 300, el área de un rectángulo de altura 15 y base 20. Coincide exactamente con el costo variable que calculaste en E.1 (CT(20) − CT(0) = 400 − 100 = 300). El costo fijo (100) queda afuera de esta cuenta a propósito: el área bajo la curva marginal solo captura el cambio, nunca el nivel de partida, la misma limitación de la constante C que viste en E.1.

Reconstruir la demanda a partir del ingreso marginal

La misma lógica aplica al ingreso: si conoces el ingreso marginal IMg(x), puedes reconstruir el ingreso total IT(x) = ∫IMg(x)dx, usando la condición natural IT(0) = 0 (sin producción, no hay ingreso, a diferencia del costo, que sí tiene un costo fijo en x=0). Y como IT(x) = P(x)·x, la función de demanda inversa se recupera dividiendo: P(x) = IT(x) / x.

Preguntas para pensar

• Repasando todo el módulo de Cálculo: A (funciones), B (límites), C (derivadas), D (optimización), E (integrales). ¿Puedes armar, con tus propias palabras, la cadena completa que conecta 'comparar 2 y 3 trabajadores' en C.3 de Economía General con 'reconstruir la demanda a partir del ingreso marginal' acá?
• ¿Qué información sobre una empresa real necesitarías conseguir para poder aplicar este mismo método (reconstruir costos o ingresos totales a partir de datos marginales)?
• El Teorema Fundamental del Cálculo conecta derivadas e integrales como operaciones inversas. ¿Por qué te parece que se llama 'fundamental' y no simplemente 'una propiedad más' del cálculo?
• De todo lo que estudiaste en Cálculo este semestre, ¿qué herramienta te parece que vas a usar con más frecuencia en materias posteriores de la carrera de Economía, y por qué?