Métodos de integración: sustitución, por partes y fracciones parciales

Cuando las reglas directas no alcanzan

No toda función marginal real tiene la forma simple de un polinomio. A veces aparece como el producto de dos expresiones relacionadas entre sí (una función y su propia derivada escondida adentro), o como el producto de dos funciones de naturaleza distinta (por ejemplo, una cantidad que crece con el tiempo multiplicada por un factor de descuento que decrece), o como un cociente de polinomios. Para esos casos, las reglas directas de E.1 no alcanzan: hacen falta técnicas específicas.

Método de sustitución: deshacer una composición

El método de sustitución funciona cuando el integrando contiene una función compuesta junto con la derivada de su función interna. Se define una nueva variable u = g(x) (la parte "interna"), se calcula du = g'(x)dx, y se reescribe toda la integral en términos de u, generalmente mucho más simple de resolver.

Ejemplo: ∫2x(x²+1)² dx. Nota que 2x es exactamente la derivada de (x²+1). Sustituyendo u = x²+1, du = 2x dx: la integral se convierte en ∫u² du = u³/3 + C = (x²+1)³/3 + C.

Integración por partes: cuando se multiplican dos funciones distintas

La integración por partes se usa cuando el integrando es un producto de dos funciones de tipo distinto (por ejemplo, una polinómica y una exponencial), donde la sustitución simple no funciona.

De dónde sale la fórmula: partiendo de la regla del producto de derivadas (C.1), aplicada a dos funciones u(x) y v(x):

[u(x)·v(x)]' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)                    (regla del producto, C.1)

Integrando ambos lados respecto a x:

∫ [u(x)·v(x)]' dx = ∫ u'(x)·v(x) dx + ∫ u(x)·v'(x) dx
u(x)·v(x) = ∫ v(x)·u'(x) dx + ∫ u(x)·v'(x) dx                (integrar una derivada deshace la derivada, E.1)

Despejando el segundo término:

∫ u(x)·v'(x) dx = u(x)·v(x) − ∫ v(x)·u'(x) dx

Escrita con la notación habitual (dv = v'(x)dx, du = u'(x)dx), esta es la fórmula: ∫u dv = uv − ∫v du.

Ejemplo, relevante para calcular el valor presente de flujos que llegan en distintos momentos del tiempo: ∫x·eˣ dx. Eligiendo u = x (así du = dx) y dv = eˣdx (así v = eˣ): ∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x−1) + C.

Fracciones parciales: descomponer un cociente de polinomios

Cuando el integrando es un cociente de polinomios, el método de fracciones parciales descompone esa fracción compleja en una suma de fracciones más simples, cada una fácil de integrar por separado. Por ejemplo, 1/[x(x+2)] se puede reescribir como A/x + B/(x+2) para ciertas constantes A y B, y cada término se integra usando la regla básica ∫(1/x)dx = ln|x| + C.

La forma exacta de la descomposición depende de cómo se vea cada factor del denominador: no todos los casos son un factor lineal simple como el del ejemplo.

Factor lineal simple: (ax+b)                         →  A / (ax+b)
Factor lineal repetido: (ax+b)^n                      →  A₁/(ax+b) + A₂/(ax+b)^2 + ... + Aₙ/(ax+b)^n
Factor cuadrático simple (no factorizable): (ax²+bx+c)        →  (Ax+B) / (ax²+bx+c)
Factor cuadrático repetido: (ax²+bx+c)^n               →  (A₁x+B₁)/(ax²+bx+c) + ... + (Aₙx+Bₙ)/(ax²+bx+c)^n

En los tres últimos casos, cada A y cada B es una constante distinta por determinar: el número de términos de la descomposición crece con el grado de repetición del factor.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que ∫x·eˣ dx aparece de forma natural en el cálculo del valor presente de flujos de dinero futuros (donde el tiempo x se multiplica por un factor exponencial de descuento)?
• De los tres métodos de este tema (sustitución, por partes, fracciones parciales), ¿cuál te parece conceptualmente más parecido a 'deshacer' una regla de derivación que ya conoces? Explica la conexión.
• Si tuvieras una función de costo marginal con la forma CMg(x) = x/(x²+1), ¿qué método de este tema probarías primero? (Pista: fíjate si el numerador se relaciona con la derivada del denominador.)
• ¿Te parece razonable que un curso de Cálculo dedique tiempo a técnicas de integración relativamente laboriosas, cuando en la práctica profesional existen herramientas de software que las calculan automáticamente? ¿Por qué sí o por qué no?