Antiderivada e integrales indefinidas: reglas directas

Deshacer la derivada

Toda esta Sección C y D trabajó "hacia adelante": dada una función (de costo, de beneficio), calcular su derivada para analizarla. Ahora la pregunta se invierte: dado el costo marginal CMg(x) = 15 (constante, como en el ejemplo de C.3 del módulo de Economía General), ¿puedes reconstruir la función de costo total completa CT(x)? El proceso de "deshacer" una derivada tiene nombre propio: antiderivada o integral indefinida.

Antiderivada: la operación inversa de la derivada

Una función F es una antiderivada de f si F'(x) = f(x). La integral indefinida de f, escrita ∫f(x)dx, representa a todas las antiderivadas posibles de f a la vez: ∫f(x)dx = F(x) + C, donde C es una constante arbitraria. Esa constante existe porque la derivada de cualquier constante es cero (como viste en C.1), así que F(x), F(x)+5, y F(x)−100 tienen exactamente la misma derivada, f(x). Sin información adicional, no hay forma de saber cuál de todas esas antiderivadas es "la correcta".

Reglas directas de integración

Invirtiendo las reglas de derivación de C.1:

- Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (para n ≠ −1).
- Constante: ∫k dx = kx + C.
- Suma/resta: ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.

Para CMg(x) = 15: ∫15 dx = 15x + C. Esa es la forma general de CT(x), pero todavía falta saber qué vale C.

Por qué la constante C tiene sentido económico, no solo matemático

El ejercicio anterior no es un detalle técnico: muestra algo importante sobre los límites de la información marginal. El costo marginal dice cuánto cambia el costo al producir una unidad más, pero nunca dice cuánto cuesta no producir nada. Esa información, el costo fijo, vive enteramente en la constante C, y solo se puede recuperar con un dato adicional (una condición inicial), nunca a partir del costo marginal solo. Es la misma idea que vas a aplicar de forma sistemática en E.3.

Preguntas para pensar

• Si te dieran solamente la función de costo marginal de una empresa real, sin ningún otro dato, ¿qué información adicional le pedirías para poder reconstruir su costo total completo?
• ¿Se te ocurre otra situación económica donde la 'tasa de cambio' (como el costo marginal) no alcance para reconstruir el 'nivel total', y haga falta un dato adicional?
• ¿Por qué crees que este tema (antiderivadas) aparece recién después de haber estudiado a fondo las derivadas, y no antes?
• Repasando D.2: la regla IMg = CMg te dio el punto óptimo de producción. Si en cambio conocieras el CMg completo (no solo en un punto) y quisieras el CT completo, ¿qué operación de este tema usarías?