Optimización aplicada: ingreso, costo y utilidad

La regla de C.4, demostrada

En C.4 del módulo de Economía General usaste una regla sin demostrarla formalmente: una empresa maximiza su beneficio produciendo hasta donde el ingreso marginal iguala al costo marginal (IMg = CMg). Con todo lo que aprendiste en esta Sección D, ya tienes las herramientas para demostrar por qué esa regla es exactamente correcta, no una convención, sino una consecuencia directa del criterio de la primera derivada.

De Beneficio'(x) = 0 a IMg = CMg

El beneficio es Beneficio(x) = IT(x) − CT(x). Por la regla de la resta de derivadas (C.1): Beneficio'(x) = IT'(x) − CT'(x). El punto crítico que maximiza el beneficio (D.1) cumple Beneficio'(x) = 0:

IT'(x) − CT'(x) = 0 → IT'(x) = CT'(x)

Y IT'(x) es, precisamente, el ingreso marginal (IMg), el ingreso adicional de la última unidad, mientras que CT'(x) es el costo marginal (CMg). La regla "producir hasta donde IMg = CMg" que usaste sin demostración en C.4 es, ahora, una consecuencia directa y demostrada del cálculo diferencial: es exactamente la condición de punto crítico, Beneficio'(x) = 0, escrita de otra forma.

Trazado de curvas: uniendo todo lo que ya sabes

Con dominio (A.1), límites y continuidad (B), derivadas (C), y los criterios de esta sección, ya puedes trazar el bosquejo de cualquier función sin necesidad de graficarla punto por punto: identificas su dominio, dónde crece y decrece (signo de f'), dónde es cóncava hacia arriba o abajo (signo de f''), sus puntos críticos, y sus asíntotas (B.2) si las tiene. Es la síntesis de todo el cálculo diferencial que estudiaste hasta acá, aplicada como una sola herramienta de análisis.

Preguntas para pensar

• Repasando todo el módulo de Cálculo hasta acá: ¿puedes trazar la línea completa desde el costo marginal 'discreto' de C.3 (Economía General) hasta la demostración formal de este tema? ¿Qué se ganó en cada paso?
• Si una empresa tuviera un costo marginal creciente muy rápido (por ejemplo, CT(x) con un término cúbico), ¿cómo esperarías que cambiara la búsqueda del óptimo respecto a este ejemplo cuadrático?
• ¿Por qué crees que a los estudiantes de Economía se les suele enseñar primero la regla IMg = CMg de forma intuitiva (como en C.4), y recién después su demostración formal con cálculo?
• Con todo lo que sabes ahora, ¿qué le dirías a alguien que piensa que el cálculo diferencial es 'solo matemática abstracta, sin aplicación real' en economía?