Máximos y mínimos: criterios de la primera y segunda derivada

De 'parece que sí' a 'está demostrado'

Explorar un gráfico y mover un deslizador, como hiciste en C.1, es una buena forma de generar una hipótesis, pero no es una demostración. Un punto que "se ve" como máximo en un gráfico limitado a cierto rango de x podría no serlo en realidad, o podría haber más de un candidato. La certeza matemática viene de aplicar criterios precisos basados en la derivada, no de la inspección visual.

Puntos críticos: los únicos candidatos posibles

Un punto crítico de f es un valor x donde f'(x) = 0 o donde f'(x) no existe. Estos son los únicos candidatos posibles a máximo o mínimo relativo de una función derivable, un resultado que se sigue directamente de la interpretación geométrica de C.1: si la pendiente de la tangente no es cero en un punto, la función todavía está subiendo o bajando ahí, así que ese punto no puede ser un pico ni un valle. Por eso el primer paso de cualquier problema de optimización es: derivar, igualar a cero, y resolver.

Criterio de la primera derivada

Una vez identificado un punto crítico x₀, el criterio de la primera derivada examina el signo de f'(x) justo antes y justo después de x₀.

- Si f' pasa de positiva a negativa (la función deja de subir y empieza a bajar): x₀ es un máximo relativo.
- Si f' pasa de negativa a positiva (la función deja de bajar y empieza a subir): x₀ es un mínimo relativo.
- Si f' no cambia de signo: x₀ no es ni máximo ni mínimo (un punto de inflexión con tangente horizontal).

Criterio de la segunda derivada

Una forma más rápida, cuando la segunda derivada es fácil de calcular: en un punto crítico x₀ (donde f'(x₀) = 0),

- Si f''(x₀) < 0: la función es cóncava hacia abajo ahí (como viste en C.2) → x₀ es un máximo relativo.
- Si f''(x₀) > 0: cóncava hacia arriba → x₀ es un mínimo relativo.
- Si f''(x₀) = 0: el criterio no decide nada; hay que recurrir al criterio de la primera derivada.

Por qué funciona: se justifica con la aproximación de Taylor de segundo orden vista en C.3, aplicada a un incremento chico h alrededor del punto crítico x₀:

f(x₀+h) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·h + f''(x₀)·h²/2         (Taylor de segundo orden, C.3)
        = f(x₀) + 0·h + f''(x₀)·h²/2                 (f'(x₀)=0, porque x₀ es un punto crítico)
        = f(x₀) + f''(x₀)·h²/2

Como h² ≥ 0 sin importar si h es positivo o negativo, el signo de [f(x₀+h) − f(x₀)] queda determinado enteramente por el signo de f''(x₀):

Si f''(x₀) < 0, entonces para todo h≠0: f(x₀+h) < f(x₀)          (cerca de x₀, la función queda por debajo de f(x₀): es un máximo)
Si f''(x₀) > 0, entonces para todo h≠0: f(x₀+h) > f(x₀)          (cerca de x₀, la función queda por encima de f(x₀): es un mínimo)

Cuando f''(x₀)=0, el término de segundo orden desaparece y la aproximación de Taylor no alcanza para decidir el signo, de ahí que el criterio quede sin conclusión en ese caso.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que el criterio de la segunda derivada suele preferirse en la práctica sobre el de la primera derivada, cuando ambos están disponibles?
• Piensa en una función económica (costo, por ejemplo) que tenga un mínimo en vez de un máximo. ¿Qué signo esperarías para su segunda derivada en ese punto?
• Si una función de beneficio tuviera dos puntos críticos distintos, ¿cómo decidirías cuál es el máximo global y cuál es solo un máximo local (o ni siquiera eso)?
• ¿Cómo cambiaría tu confianza en un resultado de optimización si solo lo obtuvieras 'mirando el gráfico' (como en C.1), sin aplicar estos criterios formales?