Diferenciales y aproximaciones

Un atajo para cambios chicos

Con IT(P) = 500P − 20P² (la función de ingreso total de A.2), calcular el ingreso exacto a P = 12,5 y a P = 13 es sencillo. Pero en la práctica, un analista a veces solo necesita saber, rápidamente, cuánto cambiaría aproximadamente el ingreso ante un cambio chico de precio, sin recalcular la función completa dos veces y restar. La derivada, que ya conoces como pendiente de la tangente, ofrece exactamente ese atajo.

El diferencial: usar la tangente como aproximación

El diferencial de una función y = f(x) es: dy = f'(x) · dx, donde dx representa un cambio (pequeño) en x. La idea geométrica es usar la recta tangente, que ya conoces de C.1, como una aproximación de la curva real, válida mientras el cambio dx sea chico: en vez de calcular el cambio exacto Δy = f(x+dx) − f(x) siguiendo la curva, dy aproxima ese cambio siguiendo la línea recta tangente, mucho más fácil de calcular.

Cuanto más grande es dx, peor es la aproximación (la tangente se aleja de la curva real); cuanto más chico, mejor.

Un paso más: la aproximación de Taylor

El diferencial dy = f'(x)·dx es, en realidad, el primer término de una idea más general: la aproximación de Taylor, que permite aproximar f(x+dx) sumando cada vez más términos, usando la segunda derivada, la tercera, y así sucesivamente, para acercarse todavía más al valor exacto, especialmente cuando dx no es tan chico. La aproximación de primer orden que usaste arriba (f(x+dx) ≈ f(x) + f'(x)·dx) es el caso más simple y más usado en la práctica económica, precisamente porque la mayoría de los análisis marginales trabajan con cambios chicos.

Preguntas para pensar

• ¿En qué situaciones económicas reales te parece más útil el diferencial (un cambio rápido, aproximado) que calcular el cambio exacto? ¿Y en cuáles preferirías siempre el valor exacto?
• Repasando toda la Sección C: derivada (C.1), derivadas especiales y de orden superior (C.2), diferenciales (C.3). ¿Cómo resumirías, en una sola frase, qué problema resuelve cada una?
• Si tuvieras que estimar rápidamente cuánto cambiaría la recaudación de un impuesto ante un cambio pequeño en la tasa impositiva, ¿cómo aplicarías la idea del diferencial?
• ¿Por qué crees que el 'análisis marginal' en economía (que ya viste en C.2, C.3 y C.4 del módulo de Economía General) se basa, casi siempre, en diferenciales y derivadas, en vez de en cambios grandes y discretos?