Derivadas de orden superior, logarítmicas y exponenciales

La elasticidad, con precisión de cálculo

En B.3 del módulo de Economía General calculaste la elasticidad precio de la demanda como Ed = (%ΔQd) / (%ΔP), usando cambios porcentuales discretos, una aproximación. Existe una versión exacta, puntual, de esa misma idea, y requiere dos herramientas que vas a conocer en este tema: la derivada de funciones logarítmicas, y la derivación logarítmica como técnica.

Derivadas de las funciones exponencial y logarítmica

Dos reglas de derivación nuevas, muy usadas en modelos de crecimiento económico.

- Si f(x) = eˣ (la función exponencial natural), entonces f'(x) = eˣ: es la única función (salvo múltiplos) que es su propia derivada, lo que la hace clave para modelar crecimiento donde la tasa de cambio es proporcional al nivel actual (como el interés compuesto continuo).
- Si f(x) = ln(x) (logaritmo natural), entonces f'(x) = 1/x.

Demostración de f'(x)=eˣ, aplicando la definición de derivada de C.1:

f'(x) = lim(h→0) [e^(x+h) - e^x] / h
      = lim(h→0) e^x · (e^h - 1) / h                  (factorizando e^x, que no depende de h)
      = e^x · lim(h→0) (e^h - 1) / h                    (e^x sale del límite, porque es constante respecto a h)
      = e^x · 1 = e^x                                    (usando el límite notable lim(h→0)(e^h-1)/h = 1 — se puede verificar probando valores de h cada vez más chicos, como 0,1; 0,01; 0,001: el cociente se acerca cada vez más a 1)

Demostración de f'(x)=1/x, para f(x)=ln(x), por derivación implícita:

Se define: y = ln(x)  ⟹  e^y = x                                (definición de logaritmo natural como inversa de e^x)
Derivando ambos lados respecto a x: e^y · y' = 1           (regla de la cadena: la derivada de e^y respecto a x es e^y·y')
y' = 1 / e^y = 1 / x                                        (despejando y', y usando que e^y = x)

Cuando la variable está en el exponente o dentro de una potencia más compleja (como f(x) = xˣ, o productos de varias funciones), suele convenir la derivación logarítmica: tomar el logaritmo natural de ambos lados antes de derivar, lo que convierte productos en sumas y potencias en productos, mucho más fáciles de derivar.

Elasticidad como derivada logarítmica

La versión puntual y exacta de la elasticidad precio de la demanda es:

Ed = (dQ/dP) × (P/Q) = d(ln Q) / d(ln P)

Esta segunda forma, la derivada del logaritmo de Q respecto al logaritmo de P, es exactamente lo que se conoce como derivada logarítmica, y tiene una ventaja práctica enorme: si la función de demanda tiene la forma Q = A·P^(−b) (una forma muy común en estimaciones econométricas de demanda), entonces ln Q = ln A − b·ln P, y su derivada respecto a ln P es simplemente −b: la elasticidad es, en ese tipo de función, una constante directamente legible del exponente, sin necesidad de recalcularla en cada punto.

Derivadas de orden superior: la segunda derivada

Así como f'(x) mide la tasa de cambio de f, la segunda derivada f''(x), la derivada de la derivada, mide la tasa de cambio de la propia tasa de cambio: qué tan rápido cambia la pendiente. Geométricamente, f''(x) > 0 indica que la curva es cóncava hacia arriba (como un tazón: la pendiente va aumentando); f''(x) < 0 indica concavidad hacia abajo (como una cúpula: la pendiente va disminuyendo). Vas a usar esta idea de forma central en la Sección D, como el "criterio de la segunda derivada" para distinguir un máximo de un mínimo.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que muchas funciones de demanda estimadas econométricamente usan la forma Q = A·P^(−b) en vez de una forma lineal? (Pista: piensa en lo que acabas de aprender sobre elasticidad constante.)
• Si tuvieras datos reales de ventas de un producto boliviano a distintos precios, ¿cómo usarías la derivación logarítmica para estimar su elasticidad?
• ¿Se te ocurre otra variable económica (además del crecimiento poblacional o el interés compuesto) que se modele naturalmente con la función exponencial?
• ¿Por qué la segunda derivada, y no directamente la primera, es la que distingue concavidad hacia arriba de concavidad hacia abajo?