Interpretación geométrica y teoremas de la derivada

El límite que cierra el círculo

En A.6 del módulo de Economía General ya viste una versión preliminar de esta idea, y en B.1 de este módulo formalizaste qué es un límite. Ahora se juntan las dos cosas: el costo marginal real, no la aproximación entre 2 y 3 trabajadores, sino el costo exacto de producir una unidad infinitesimalmente más, es, formalmente, el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero. Ese límite tiene nombre propio: derivada.

La derivada como límite del cociente incremental

La derivada de f en x, escrita f'(x), se define como:

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h

El cociente [f(x+h) − f(x)] / h mide la tasa de cambio promedio de f entre x y x+h (la pendiente de la recta secante que conecta esos dos puntos). Al tomar el límite cuando h → 0, esa tasa de cambio promedio se convierte en la tasa de cambio instantánea: exactamente lo que el costo marginal necesita medir, no el cambio entre dos niveles de producción separados, sino el cambio exacto en el instante mismo.

Interpretación geométrica: la pendiente de la recta tangente

Geométricamente, f'(x) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)): la recta que "toca" la curva en ese punto exacto, sin cruzarla, con la misma inclinación que la curva en ese instante. Cuanto más empinada la tangente, más rápido cambia la función en ese punto; una tangente horizontal (pendiente cero) señala un punto donde la función, momentáneamente, no crece ni decrece, una pista que vas a explotar en la Sección D para encontrar máximos y mínimos.

Teoremas (reglas) básicas de derivación

Calcular derivadas usando el límite cada vez sería muy lento; por eso existen reglas, que se demuestran una única vez a partir de esa definición y después se usan directamente.

- Regla de la potencia: si f(x) = xⁿ, entonces f'(x) = n·xⁿ⁻¹.
- Derivada de una constante: si f(x) = c, entonces f'(x) = 0 (no cambia, no tiene pendiente).
- Regla de la suma/resta: (f ± g)'(x) = f'(x) ± g'(x): se deriva término por término.
- Regla del producto: (f·g)'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x).
- Regla del cociente: (f/g)'(x) = [f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)] / [g(x)]², válida donde g(x) ≠ 0.

Demostración de la regla de la suma, sea F(x)=f(x)+g(x):

F'(x) = lim(h→0) [F(x+h)-F(x)]/h
      = lim(h→0) [f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)]/h                              (aplicando la definición de F)
      = lim(h→0) { [f(x+h)-f(x)]/h + [g(x+h)-g(x)]/h }                     (reagrupando los términos)
      = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h + lim(h→0) [g(x+h)-g(x)]/h                (teorema de la suma de límites, B.1)
      = f'(x) + g'(x)                                                     (cada límite es, por definición, una derivada)

Demostración de la regla del producto, sea F(x)=f(x)·g(x); el paso clave es sumar y restar el mismo término en el numerador, un truco algebraico que no cambia el valor pero permite reagrupar:

F'(x) = lim(h→0) [f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)]/h
      = lim(h→0) { [f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x)] + [f(x+h)g(x) - f(x)g(x)] } / h    (se suma y resta f(x+h)·g(x))
      = lim(h→0) { f(x+h)·[g(x+h)-g(x)] + g(x)·[f(x+h)-f(x)] } / h                (factorizando cada corchete)
      = lim(h→0) f(x+h) · [g(x+h)-g(x)]/h + lim(h→0) g(x) · [f(x+h)-f(x)]/h        (separando en dos límites)
      = f(x)·g'(x) + g(x)·f'(x)                                                   (f(x+h)→f(x) cuando h→0; g(x) no depende de h)

La regla del cociente se demuestra con el mismo tipo de truco (sumar y restar un término auxiliar), aplicado a f(x)/g(x); por eso, en la práctica, se usa ya demostrada.

Con la regla de la potencia y la de la suma, ya se puede derivar Beneficio(x) = −0.5x² + 20x − 50: Beneficio'(x) = −0.5(2x) + 20(1) − 0 = −x + 20.

Preguntas para pensar

• Repasando A.6, B.1, y esta subsección: ¿puedes reconstruir, con tus propias palabras, todo el camino desde 'comparar 2 y 3 trabajadores' hasta 'la derivada como límite'? ¿Qué se ganó en precisión en cada paso?
• ¿Por qué crees que una pendiente de tangente igual a cero es una pista tan valiosa para encontrar el punto de beneficio máximo? Anticipa tu respuesta antes de llegar a la Sección D.
• Si tuvieras que explicarle la derivada a alguien que nunca estudió cálculo, usando el ejemplo del costo marginal, ¿qué analogía cotidiana usarías (por ejemplo, la velocidad de un vehículo)?
• ¿Qué información adicional (más allá del valor de la derivada en un punto) necesitarías para saber si ese punto de pendiente cero es un máximo, un mínimo, o ninguno de los dos?