Continuidad de funciones

Un boliviano de diferencia, un salto enorme

Imagina un sistema de impuesto a la renta (mal diseñado a propósito, para el ejemplo) donde: si ganas hasta Bs 5.000, pagas 10% de impuesto sobre todo tu ingreso; si ganas más de Bs 5.000, pagas 20% sobre todo tu ingreso, desde el primer boliviano. Alguien que gana Bs 5.000 paga Bs 500 de impuesto (le quedan Bs 4.500). Alguien que gana Bs 5.001, un solo boliviano más, pagaría el 20% de 5.001, es decir Bs 1.000,20 (le quedan Bs 4.000,80): gana un boliviano más y termina con casi Bs 500 menos en el bolsillo.

Este diseño (que por suerte casi ningún sistema tributario real usa, precisamente por este problema) tiene una falla matemática con nombre preciso: la función de "ingreso después de impuestos" tiene una discontinuidad en x = 5.000.

Continuidad en un punto: tres condiciones

Una función f es continua en x = a si se cumplen, las tres, a la vez:

1. f(a) está definida (existe un valor de la función exactamente en a).
2. lim(x→a) f(x) existe (los límites laterales, vistos en B.1, coinciden).
3. lim(x→a) f(x) = f(a) (el límite coincide con el valor real de la función en ese punto).

En el ejemplo del impuesto mal diseñado, la función de ingreso neto sí está definida en x = 5.000, pero el límite por la izquierda (acercándose desde ingresos un poco menores a 5.000, con la fórmula del 10%) da un valor distinto al límite por la derecha (acercándose desde ingresos un poco mayores, con la fórmula del 20%): se rompe la condición 2, y por lo tanto la función es discontinua exactamente ahí.

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada uno de sus puntos. Intuitivamente: se puede dibujar su gráfica en ese intervalo sin levantar el lápiz del papel. La mayoría de las funciones económicas "bien diseñadas", demanda, oferta, costos, producción, se construyen deliberadamente para ser continuas en su dominio relevante, precisamente porque las discontinuidades generan los incentivos perversos que viste en el problema inicial (relacionado con lo que estudiaste en A.4 del módulo de Economía General): un sistema tributario real por tramos aplica cada alícuota solo a la porción de ingreso dentro de ese tramo, lo que hace que la función de impuesto total sea continua, aunque su pendiente cambie de tramo en tramo.

El Teorema del Valor Intermedio: por qué el equilibrio de mercado existe

El Teorema del Valor Intermedio (TVI) dice: si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b) al menos una vez en ese intervalo. Aplicación directa a la economía: si la función Exceso de demanda (Qd(P) − Qs(P)) es continua, es positiva a precios bajos (falta oferta) y negativa a precios altos (sobra oferta), el TVI garantiza matemáticamente que existe al menos un precio P* donde el exceso de demanda es exactamente cero, es decir, garantiza que existe un precio de equilibrio, sin necesidad de calcularlo primero. Es, en esencia, la justificación formal de por qué el método de igualar oferta y demanda que usaste en B.2 del módulo de Economía General tiene sentido: la continuidad de ambas funciones asegura que un cruce existe.

Preguntas para pensar

• ¿Se te ocurre otro ejemplo de una política pública boliviana (subsidios, becas, aranceles) que podría tener, mal diseñada, una discontinuidad como la del impuesto del problema inicial? ¿Qué incentivo perverso generaría?
• El Teorema del Valor Intermedio garantiza que existe un equilibrio, pero no dice cuál es. ¿Qué otras herramientas (de las que ya conoces) usarías para encontrar el valor exacto?
• ¿Por qué crees que la continuidad es una propiedad tan deseable para las funciones que usan los economistas al construir modelos?
• Piensa en un ejemplo de tu vida cotidiana (no económico) donde algo cambia de forma discontinua, con un salto brusco en vez de gradual. ¿Genera algún incentivo perverso parecido al del impuesto mal diseñado?