Límites indeterminados, infinitos y asíntotas

¿Hasta dónde baja el costo medio?

Retomando la estructura de costos que viste en C.3 del módulo de Economía General: costo fijo Bs 100, costo variable Bs 15 por unidad. El costo medio es CMe(x) = (100 + 15x) / x. A medida que x crece, 10, 100, 10.000 unidades, el costo fijo se reparte entre cada vez más unidades, y su peso por unidad se hace cada vez más chico. ¿Baja el costo medio indefinidamente, hacia cero, o se estabiliza en algún valor específico, sin importar cuánto crezca la producción?

Formas indeterminadas: cuando la sustitución directa no alcanza

Una forma indeterminada ocurre cuando, al intentar evaluar un límite sustituyendo directamente, se obtiene una expresión sin significado matemático definido, como 0/0. Ya viste un caso en B.1: lim(x→2) (x²−4)/(x−2) da, al sustituir directamente, 0/0, pero factorizando el numerador ((x−2)(x+2)) y simplificando, el límite real (4) queda claro. Esa es la técnica general para 0/0: factorizar y simplificar antes de evaluar. (Más adelante, en la Sección C, vas a conocer la regla de L'Hôpital, una herramienta con derivadas que resuelve estas mismas formas indeterminadas de otra manera.)

Límites al infinito: qué pasa cuando x crece sin parar

Un límite al infinito, lim(x→∞) f(x), describe el valor al que se acerca f(x) a medida que x crece indefinidamente (sin llegar nunca a un valor final, porque el infinito no es un número). Para CMe(x) = (100 + 15x)/x, dividiendo cada término entre x: CMe(x) = 100/x + 15. A medida que x crece, 100/x se acerca cada vez más a 0, así que lim(x→∞) CMe(x) = 0 + 15 = 15. El costo medio no baja hacia cero: se estabiliza en Bs 15, exactamente el costo variable por unidad, una vez que el peso del costo fijo se vuelve insignificante.

Límites infinitos y asíntotas

Distinto de un límite al infinito es un límite infinito: cuando f(x) crece o decrece sin límite a medida que x se acerca a un valor finito. Para CMe(x) = (100+15x)/x, cuando x se acerca a 0 por la derecha (producir casi nada), el costo fijo se reparte entre casi ninguna unidad: lim(x→0⁺) CMe(x) = +∞.

Una asíntota horizontal es una recta y = L a la que se acerca la función cuando x → ±∞ (acá, y = 15). Una asíntota vertical es una recta x = a donde la función tiende a ±∞ (acá, x = 0). Ambas describen el comportamiento de la función en sus extremos, sin que la curva llegue a tocarlas nunca.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que a las empresas con costos fijos altos (como una fábrica con maquinaria costosa) les conviene producir a gran escala? Conecta tu respuesta con la asíntota horizontal de este tema.
• Piensa en otra variable económica boliviana que tenga una 'asíntota' natural, un valor al que se acerca sin llegar nunca del todo (por ejemplo, una tasa de desempleo friccional mínima, o un límite físico de producción).
• Si tuvieras que explicarle a alguien sin formación matemática por qué 'producir casi nada' hace que el costo medio se dispare hacia el infinito, ¿qué ejemplo cotidiano usarías?
• ¿Cómo se conecta la idea de asíntota horizontal con el concepto de rendimientos decrecientes que viste en C.2 del módulo de Economía General? ¿Son la misma idea, o dos ideas relacionadas pero distintas?