Definición de límite y teoremas

Acercarse sin llegar

En A.6 del módulo de Economía General ya viste una primera versión de esta idea: acercarse al costo marginal con incrementos cada vez más pequeños. Ahora es momento de formalizarla. La pregunta "¿cuánto cuesta producir exactamente una unidad más, en este instante?" no se puede responder comparando 2 trabajadores contra 3, eso mide un cambio grande, discreto. Hace falta preguntar qué pasa con el costo promedio cuando el incremento de producción se vuelve cada vez más chico, acercándose a cero sin llegar nunca a serlo exactamente. Esa es, precisamente, la idea de límite.

Límite: enfoque informal

El límite de f(x) cuando x tiende a a, escrito lim(x→a) f(x) = L, describe el valor L al que se acerca f(x) a medida que x se acerca a a, sin que x tenga que llegar a valer exactamente a, e incluso sin que f(a) tenga que estar definida. Es una pregunta sobre la tendencia, no sobre el valor puntual.

Condición de existencia: límites laterales

El límite lim(x→a) f(x) existe si y solo si los dos límites laterales coinciden: el límite por la izquierda (x se acerca a a con valores menores, lim(x→a⁻) f(x)) y el límite por la derecha (x se acerca con valores mayores, lim(x→a⁺) f(x)) deben ser iguales entre sí. Si se acercan a valores distintos según por dónde se aproxime, el límite en ese punto simplemente no existe.

Definición formal de límite

La definición informal ("f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a") es intuitiva, pero no permite demostrar nada con precisión: solo verificarlo mirando un gráfico o una tabla de valores. La definición formal (debida a Cauchy y Weierstrass) es la que hace posible una demostración real.

lim(x→a) f(x) = L significa: para todo número ε>0, por pequeño que sea, existe un número δ>0 tal que, siempre que 0<|x−a|<δ, se cumple |f(x)−L|<ε.

En palabras: sin importar qué tan estrecha sea la franja de error ε que se exija alrededor de L, siempre es posible encontrar una franja δ alrededor de a (sin incluir al propio a) donde f(x) cae dentro de esa franja de error. Esta es la definición que permite demostrar, no solo verificar, los teoremas de la siguiente sección.

Teoremas de los límites

Si lim(x→a) f(x) = L y lim(x→a) g(x) = M (ambos existen), entonces:

- lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L + M
- lim(x→a) [f(x) × g(x)] = L × M
- lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L / M, siempre que M ≠ 0

Estos teoremas permiten calcular límites de funciones combinadas, como una función de beneficio, que combina ingreso y costo, a partir de los límites de sus partes por separado, sin tener que evaluar todo de nuevo desde cero.

Demostración de la regla de la suma, usando la definición formal de arriba:

Elegido arbitrariamente: ε > 0
Paso 1: 0<|x-a|<δ₁ ⟹ |f(x)-L| < ε/2          (existe un δ₁>0 con esta propiedad, porque lim f(x)=L)
Paso 2: 0<|x-a|<δ₂ ⟹ |g(x)-M| < ε/2          (existe un δ₂>0 con esta propiedad, porque lim g(x)=M)
Paso 3: δ ≤ δ₁, δ ≤ δ₂                         (se elige δ como el menor de los dos, para que 0<|x-a|<δ cumpla ambas condiciones a la vez)
Paso 4: |[f(x)+g(x)] - (L+M)| = |[f(x)-L] + [g(x)-M]| ≤ |f(x)-L| + |g(x)-M| < ε          (desigualdad triangular, sumando los pasos 1 y 2)
Paso 5: lim(x→a) [f(x)+g(x)] = L+M              (se encontró un δ que funciona para cualquier ε>0 elegido)

Las demostraciones de la regla del producto y del cociente siguen la misma estrategia, acotar el error total combinando los errores de f y g por separado, aunque con más pasos algebraicos intermedios; por eso, en la práctica, se usan directamente ya demostradas.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que el concepto de límite es un paso necesario antes de poder definir con precisión la derivada (que vas a estudiar en la Sección C)?
• Piensa en una situación económica real donde tenga sentido preguntar '¿qué pasa cuando algo se acerca mucho a X, sin llegar exactamente a X?' (por ejemplo, un plazo, un precio límite, una tasa de interés).
• Si los límites laterales de una función en un punto son distintos entre sí, ¿qué podría estar pasando económicamente en ese punto? (Pista: piensa en un cambio brusco de política, como un impuesto que se activa a partir de cierto nivel de ingreso.)
• ¿Te parece que la definición informal de límite ('se acerca a') es suficiente para trabajar con seguridad, o preferirías conocer también la definición formal rigurosa? ¿Por qué?