Axiomas y demostraciones formales de los números reales

Cotas que nunca se alcanzan: el límite teórico de una tasa promocional

Una cooperativa de ahorro boliviana lanza una promoción de tasa de interés a plazo fijo que baja 20% cada semestre respecto al semestre anterior, empezando en 12% anual: r₀=12%, r₁=9,6%, r₂=7,68%, r₃=6,144%, y así sucesivamente. Un ahorrista pregunta hasta qué tasa mínima puede llegar esta promoción. La respuesta intuitiva, "se acerca a cero", no es una respuesta matemáticamente precisa: cero nunca aparece en la lista de tasas, pero tampoco existe ningún número mayor que cero que sirva de "piso" válido para todas ellas a la vez. Esa idea, un límite que ninguna cota mayor puede reemplazar, aunque nunca se alcance, tiene un nombre preciso dentro de los números reales: el ínfimo.

Axiomas de la igualdad

Toda la manipulación algebraica que ya se practicó en A.1 y A.2, "sumar lo mismo a ambos lados", "simplificar", descansa sobre seis propiedades básicas de la igualdad entre números reales, tan intuitivas que rara vez se enuncian por separado. Para a, b, c ∈ ℝ:

- Dicotomía: o bien a = b, o bien a ≠ b (nunca ambas cosas a la vez, ni ninguna).
- Reflexividad: a = a.
- Simetría: si a = b, entonces b = a.
- Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
- Unicidad de la adición: si a = b, entonces a + c = b + c, para cualquier c.
- Unicidad de la multiplicación: si a = b, entonces a·c = b·c, para cualquier c.

Las dos últimas son, en concreto, las que se usan sin pensarlo cada vez que se "pasa un término al otro lado" de una ecuación: no es una regla de conveniencia, es un axioma.

Axiomas de orden: cómo se comparan dos números reales

El orden entre números reales se apoya en tres axiomas.

- Tricotomía: para todo a, b ∈ ℝ, se cumple exactamente una de estas tres relaciones: a < b, a = b, o a > b.
- Todo número real a es positivo (a > 0), negativo (a < 0), o cero: exactamente una de las tres.
- Transitividad del orden: si a < b y b < c, entonces a < c.

De aquí se derivan, sin necesidad de memorizarlas por separado, las reglas para resolver desigualdades ya usadas en A.1: sumar o restar el mismo número a ambos lados preserva el orden; multiplicar por un número negativo lo invierte. No son reglas arbitrarias: son consecuencias directas de estos tres axiomas.

El axioma de plenitud: cotas, ínfimo y supremo

Sea A un subconjunto de ℝ.

- A está acotado inferiormente si existe un número a tal que a ≤ x para todo x en A (a es una cota inferior de A).
- A está acotado superiormente si existe un número b tal que x ≤ b para todo x en A (b es una cota superior).
- A es acotado si lo está en ambos sentidos.
- El ínfimo de A es la mayor de todas las cotas inferiores de A.
- El supremo de A es la menor de todas las cotas superiores de A.

El axioma de plenitud (o de completitud) garantiza que todo subconjunto no vacío de ℝ acotado superiormente tiene supremo dentro de ℝ, una propiedad que ℚ, el conjunto de los racionales, no cumple (D.2 muestra un contraejemplo clásico con este mismo tipo de conjunto).

Aplicado al problema de apertura, con A = {r₀, r₁, r₂, r₃, ...} = {12; 9,6; 7,68; 6,144; ...}, donde r_n = 12·(0,8)^n:

Cotas superiores de A: 12; 15; 100        (cualquier número mayor o igual a 12 sirve)
Cotas inferiores de A: 0; -1; -5           (cualquier número menor o igual a 0 sirve, porque r_n > 0 para todo n)
Supremo de A: 12                          (la menor de las cotas superiores)
Ínfimo de A: 0                            (la mayor de las cotas inferiores)

Como 12 sí pertenece a A (es r₀), el supremo coincide con el máximo del conjunto. Pero 0 nunca aparece en A, ninguna tasa de la promoción llega a valer exactamente cero, así que A no tiene mínimo: se acerca a 0 tanto como se quiera, sin tocarlo nunca. Ahí está la respuesta precisa a la pregunta del ahorrista: la promoción no tiene un piso alcanzable, pero sí tiene un ínfimo exacto, 0.

Demostración: por qué (a·b)⁻¹ = a⁻¹·b⁻¹

Afirmación: si a ≠ 0 y b ≠ 0, entonces (a·b)⁻¹ = a⁻¹·b⁻¹.

Paso 1: a·b ≠ 0 ⟺ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0                          (un producto es distinto de cero si y solo si ambos factores lo son)
Como a≠0 y b≠0, existen los inversos: a⁻¹, b⁻¹                (todo real distinto de cero tiene inverso multiplicativo)
Paso 3: (a·b)·(a⁻¹·b⁻¹) = (b·a)·(a⁻¹·b⁻¹)                (conmutatividad del producto)
      = [b·(a·a⁻¹)]·b⁻¹                                  (asociatividad, agrupando a con su inverso)
      = (b·1)·b⁻¹                                        (a·a⁻¹ = 1, por definición de inverso)
      = b·b⁻¹                                            (b·1 = b)
      = 1                                                (definición de inverso, aplicada a b)
Paso 4: (a·b)·(a⁻¹·b⁻¹) = 1 ⟹ (a·b)⁻¹ = a⁻¹·b⁻¹           (por definición: el inverso de a·b es el número que, multiplicado por a·b, da 1)

Demostración: por qué √5 es un número irracional

Se demuestra por reducción al absurdo: se supone lo contrario de lo que se quiere probar, y se llega a una contradicción.

Hipótesis auxiliar, para llegar a una contradicción: √5 = p/q
Con p,q enteros, q≠0 y sin factores comunes entre sí. Elevando al cuadrado ambos lados: p^2 = 5·q^2
Si 5 divide a p², por una propiedad de los números primos, 5 también divide a p. Se escribe: p = 5·k          (k es un entero)
Sustituyendo p=5k en la ecuación de arriba y simplificando entre 5: q^2 = 5·k^2
Por el mismo argumento, ahora aplicado a q: q = 5·m          (m es un entero)

Tanto p como q resultan múltiplos de cinco: contradice que fueran primos entre sí (sin factores comunes), así que la hipótesis auxiliar es falsa. √5 no puede escribirse como una fracción p/q de enteros. Por lo tanto, √5 es irracional.

De un decimal periódico a una fracción, paso a paso

Todo decimal periódico es, por definición, un número racional: se puede convertir siempre a una fracción exacta. Ejemplo con x = 3,181818... (el bloque "18" se repite indefinidamente):

Se define: x = 3,181818...
Paso 1: x = 3 + 0,181818...
Paso 2, definiendo y = 0,181818...: 100·y = 18,181818...          (se multiplica por 100 porque el período tiene 2 cifras)
Paso 3: 100·y - y = 18,181818... - 0,181818... = 18            (al restar, la parte periódica se cancela por completo)
Paso 4: 99·y = 18  ⟹  y = 18/99 = 2/11                          (simplificando entre 9)
Paso 5: x = 3 + 2/11 = 33/11 + 2/11 = 35/11                     (llevando el 3 a fracción con el mismo denominador)

Verificación: 35 ÷ 11 = 3,181818..., coincide exactamente con el número de partida. El conjunto de los irracionales (como √5, ya demostrado arriba) se define precisamente por exclusión: los decimales que no admiten esta conversión, porque nunca se vuelven periódicos.

Operaciones con intervalos

Sean A = {t ∈ R / t<5} = ]-∞,5[, B = {k ∈ R / k≥-4} = [-4,+∞[, y C = {x ∈ R / -3<x≤6} = ]-3,6]. Las operaciones de conjuntos (unión, intersección, diferencia) se aplican a los intervalos igual que a cualquier otro conjunto:

A - B = ]-∞,5[ - [-4,+∞[ = ]-∞,-4[                          (lo que está en A pero fuera de B)
B - C = [-4,+∞[ - ]-3,6] = [-4,-3] ∪ ]6,+∞[                  (lo que está en B pero fuera de C)
(A-B) ∪ (B-C) = ]-∞,-4[ ∪ [-4,-3] ∪ ]6,+∞[ = ]-∞,-3] ∪ ]6,+∞[  (uniendo; el punto -4 conecta ambos tramos, cerrando el resultado en -3)

A ∩ B = ]-∞,5[ ∩ [-4,+∞[ = [-4,5[                            (lo que está en ambos a la vez)

La fórmula general de la ecuación cuadrática, derivada por completar cuadrados

La fórmula ya usada en A.2 para resolver ecuaciones cuadráticas no es un dato memorizado sin origen: se deriva completando el cuadrado en la ecuación general a·x²+b·x+c=0 (con a≠0):

Paso 1: a·x^2 + b·x + c = 0  ⟺  x^2 + (b/a)·x + (c/a) = 0        (dividiendo toda la ecuación entre a)
Paso 2: x^2 + (b/a)·x = -(c/a)                                     (pasando c/a al otro lado)
Sumando (b/(2a))^2 a ambos lados, para completar el cuadrado: x^2 + (b/a)·x + (b/(2a))^2 = -(c/a) + (b/(2a))^2
Paso 4: el lado izquierdo ya es un cuadrado perfecto:
        (x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2)                       (sumando las fracciones del lado derecho sobre el mismo denominador)
Paso 5: (x + b/(2a)) = ± √(b^2-4ac) / (2a)                          (sacando raíz cuadrada a ambos lados)
Paso 6: x = -b/(2a) ± √(b^2-4ac)/(2a) = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)    (despejando x, con denominador común)

De ahí el nombre "completar cuadrados": el paso 3 agrega justo el término que falta para que el lado izquierdo sea el cuadrado de un binomio.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué el axioma de plenitud es exclusivo de los números reales y no de los racionales? ¿Qué implicaría para el cálculo si trabajáramos solo con ℚ?
• Piensa en otro proceso económico boliviano (una tasa, un precio, un porcentaje) que se acerque a un límite sin tocarlo nunca. ¿Cuál sería su ínfimo o supremo?
• ¿Por qué crees que un examen de Cálculo pide demostrar formalmente identidades algebraicas simples, como (a·b)⁻¹=a⁻¹·b⁻¹, en vez de solo pedir que se apliquen?
• Antes de esta subsección, ¿habías usado alguna demostración por reducción al absurdo en otra materia (Álgebra, por ejemplo)? ¿En qué se parece o se diferencia de esta?