Funciones lineales y cuadráticas: consumo, demanda, oferta y equilibrio

Ni el precio más alto, ni el más bajo

Con la función de demanda Qd = 500 − 20P (la misma de B.1 y B.2 del módulo de Economía General, y de D.1 del módulo de Álgebra), el ingreso total de vender ese bien es IT(P) = P × Qd(P). Fíjate qué pasa en los extremos: a precio P = 0, no hay ingreso (se regala el producto); a precio P = 25 (donde Qd llega a cero, como calculaste en D.1), tampoco hay ingreso, porque no se vende nada. En algún punto intermedio, el ingreso tiene que ser máximo. ¿En cuál, exactamente?

La función lineal, repaso rápido

Una función lineal tiene la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente (tasa de cambio constante) y b es el valor en x = 0. Ya trabajaste con varias: la demanda Qd = 500 − 20P (pendiente −20), la oferta, y en macroeconomía la función de consumo keynesiana C = a + bY (donde b es la propensión marginal a consumir, la fracción de cada boliviano adicional de ingreso Y que se destina a consumo).

La función cuadrática: cuando dos rectas se multiplican

Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax² + bx + c (con a ≠ 0), y su gráfica es una parábola. El ingreso total IT(P) = P × Qd(P) = P(500 − 20P) = 500P − 20P² es cuadrática, precisamente porque surge de multiplicar el precio P (lineal) por una función de P (también lineal): el producto de dos expresiones lineales en la misma variable da, en general, una cuadrática.

Como a = −20 es negativo, la parábola se abre hacia abajo: tiene un máximo, no un mínimo. Ese máximo ocurre exactamente en el vértice de la parábola, en P* = −b / (2a).

Preguntas para pensar

• En este tema encontraste el máximo de IT(P) 'a ojo' (explorando el gráfico) y después algebraicamente (con la fórmula del vértice). ¿Cuál de los dos métodos te parece más confiable, y por qué?
• ¿Qué pasaría con el precio óptimo P* si la demanda fuera más sensible al precio (por ejemplo, Qd = 500 − 40P en vez de 500 − 20P)? Intenta anticipar la respuesta antes de calcularla.
• La fórmula del vértice P* = −b/(2a) funciona para cualquier parábola. En la Sección D de este módulo se ve otra forma de encontrar ese mismo punto máximo. ¿Qué herramienta crees que se usa (piensa en lo que ya viste de A.6 del módulo de Economía General)?
• ¿Se te ocurre alguna razón por la que, en la práctica, una empresa real podría no fijar su precio exactamente en el P* que maximiza el ingreso (por ejemplo, otros objetivos además de maximizar ingresos)?