El campo de los números reales y desigualdades

No alcanza con 'más o menos ahí'

En D.2 del módulo de Álgebra viste la función de beneficio Beneficio(x) = 5x − 100, y encontraste que el punto de equilibrio era x = 20. Pero "el punto de equilibrio" responde una pregunta distinta de la que realmente le importa a un empresario: no '¿en qué x el beneficio es exactamente cero?', sino '¿para qué valores de x el beneficio es positivo?'. Es decir, no una ecuación, sino una desigualdad: Beneficio(x) > 0.

El conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales (ℝ) incluye a los números naturales, enteros, racionales (fracciones) e irracionales (como √2 o π), representados sin huecos a lo largo de una recta numérica continua. Un intervalo es un subconjunto de ℝ definido por sus extremos: (a, b) es un intervalo abierto (no incluye a ni b); [a, b] es cerrado (los incluye a ambos); [a, b) y (a, b] son semiabiertos. El dominio económicamente razonable de una función, como viste en D.1 de Álgebra con la demanda, casi siempre se expresa como un intervalo, no como todo ℝ.

Desigualdades: las mismas reglas, con una trampa

Una desigualdad compara dos expresiones con <, >, ≤ o ≥, y se resuelve con las mismas operaciones que una ecuación (sumar, restar, multiplicar, dividir en ambos lados) con una excepción crítica: al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Si 5x − 100 > 0, sumando 100 a ambos lados: 5x > 100; dividiendo entre 5 (positivo, no cambia el sentido): x > 20. Pero si tuvieras, por ejemplo, −5x > −100, dividir entre −5 invertiría la desigualdad: x < 20, el mismo número, sentido opuesto.

Aplicación: la región de rentabilidad de una empresa

Resolver Beneficio(x) > 0 no es un ejercicio abstracto: define exactamente el rango de producción rentable de una empresa, la información que un gerente necesita antes de decidir cuánto producir. Cuando la función de beneficio es más compleja que una recta (por ejemplo, cuadrática, con un costo fijo alto y un ingreso que primero crece y después se estanca), el conjunto solución de la desigualdad puede ser un intervalo acotado por dos valores, no un simple "mayor que", algo que vas a poder explorar directamente en A.2, con funciones cuadráticas.

Preguntas para pensar

• ¿Por qué crees que el programa de Cálculo enseña desigualdades antes de funciones cuadráticas y límites? ¿Qué rol preparatorio cumplen?
• Piensa en otra decisión económica real (no de una empresa) que se pueda formular como una desigualdad, por ejemplo, relacionada con un presupuesto familiar o una política pública.
• Si una empresa tiene Beneficio(x) < 0 para todos los valores de x en su dominio razonable, ¿qué te dice eso sobre su modelo de negocio?
• ¿Cómo se relaciona el concepto de intervalo (abierto, cerrado) con el dominio económicamente razonable de una función que ya estudiaste en D.1 del módulo de Álgebra?