Determinantes y matriz inversa

Un sistema, no una ecuación suelta

En B.2 del módulo de Economía General, encontrar el equilibrio de un mercado fue relativamente simple: dos ecuaciones (oferta y demanda), una incógnita compartida (el precio), resuelto por sustitución directa. Pero en una economía real, los mercados no son independientes: el precio del gas afecta el costo del transporte, que afecta el precio de los alimentos, que afecta el salario real, que afecta la demanda de vivienda. Resolver "todos los precios de equilibrio a la vez", cuando cada uno depende de los demás, es resolver un sistema de ecuaciones simultáneas, y hacerlo a mano, sustituyendo una ecuación tras otra, se vuelve inmanejable apenas hay más de dos o tres mercados. El álgebra matricial existe, en buena medida, para resolver exactamente este problema.

El determinante: ¿tiene el sistema una solución única?

Como viste en el componente interactivo de F.1, el determinante de una matriz cuadrada A (escrito det(A) o |A|) es un número que se calcula a partir de todos sus elementos. Para una matriz 2×2, det(A) = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁; para matrices más grandes, se calcula por expansión de cofactores (reduciendo el problema a determinantes más chicos, fila por fila).

Su utilidad central: un sistema de ecuaciones lineales Ax = b (donde A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas, y b el vector de resultados) tiene una única solución exactamente cuando det(A) ≠ 0. Si det(A) = 0, el sistema no tiene solución única: puede no tener ninguna, o tener infinitas.

Matriz inversa: la herramienta para despejar x

La matriz inversa de A, escrita A⁻¹, es la matriz que cumple A × A⁻¹ = I (la matriz identidad que viste en F.1): es, en el álgebra matricial, el equivalente de dividir entre A. La inversa solo existe si det(A) ≠ 0 (por eso el determinante es el primer paso obligado antes de intentar invertir una matriz).

Con la inversa, un sistema Ax = b se resuelve directamente: x = A⁻¹b. Esto es exactamente lo que reemplaza, para sistemas grandes, el método de sustitución que usaste en B.2 para un solo mercado: en vez de despejar variable por variable, se calcula A⁻¹ una sola vez y se aplica al vector b de resultados deseados. Es, además, la lógica detrás del modelo insumo-producto de Leontief que mencionaste en F.1: para saber cuánto debe producir cada sector (x) para satisfacer una demanda final (d), se resuelve x = (I − A)⁻¹d, donde A es la matriz de coeficientes técnicos.

Preguntas para pensar

• Repasando todo el módulo de Álgebra: lógica (A), conjuntos (B), relaciones (C), funciones (D), combinatoria (E) y matrices (F): ¿qué conexión ves entre la relación 'provee insumos a' de C.1 y el sistema x = (I−A)⁻¹d que cierra este tema?
• Si tuvieras que explicarle a alguien sin formación matemática por qué los sistemas de ecuaciones simultáneas son tan comunes en economía, ¿qué ejemplo boliviano usarías?
• ¿Qué pasaría, en términos económicos, si la matriz de coeficientes técnicos de una economía (A del modelo de Leontief) tuviera un determinante de (I−A) igual a cero? ¿Qué crees que significaría eso sobre la estructura productiva de ese país?
• De todos los temas de este módulo de Álgebra, ¿cuál te parece que vas a usar con más frecuencia en el resto de la carrera de Economía? Justifica tu respuesta.