Definición, tipos y operaciones con matrices

De la relación a la tabla de números

En C.1 de este mismo módulo viste la relación "provee insumos a" entre los sectores agropecuario, industrial, construcción y servicios, y en la pregunta guía de esa subsección te preguntamos qué forma tendría una tabla con esa información. Ahora es el momento de construirla: si en vez de solo decir "sí provee" o "no provee" se registra cuánto provee cada sector a cada otro (en millones de bolivianos, por ejemplo), se obtiene una tabla de números ordenada en filas y columnas: exactamente lo que en Álgebra se llama matriz.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es un arreglo rectangular de números, ordenados en filas y columnas. Una matriz con m filas y n columnas se dice de orden m × n. Cada elemento se identifica con dos subíndices, aᵢⱼ, donde i es el número de fila y j el de columna. Por ejemplo, en una matriz insumo-producto de 4 sectores (4×4), el elemento a₂₃ representaría cuánto provee el sector 2 (fila) al sector 3 (columna).

Tipos de matrices

Algunos tipos reciben nombre propio, porque aparecen constantemente.

- Matriz fila: una sola fila (orden 1×n). Matriz columna: una sola columna (orden m×1).
- Matriz cuadrada: mismo número de filas que de columnas (m = n), como la matriz insumo-producto entre 4 sectores, que es 4×4 porque cada sector puede proveer a cualquier otro, incluidos ellos mismos.
- Matriz nula: todos sus elementos son 0.
- Matriz diagonal: cuadrada, con ceros fuera de la diagonal principal.
- Matriz identidad (I): diagonal, con unos en toda la diagonal principal: es el "1" del álgebra matricial, multiplicar cualquier matriz A por I no la cambia.

Dos matrices son iguales solo si tienen el mismo orden y cada elemento correspondiente es igual (a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, etc.).

Operaciones: suma, resta y producto de matrices

La suma y resta de matrices solo están definidas entre matrices del mismo orden, y se hacen elemento por elemento: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. La multiplicación por un escalar k multiplica cada elemento: (kA)ᵢⱼ = k·aᵢⱼ.

El producto de matrices A × B es más exigente: solo está definido si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, y cada elemento del resultado se calcula multiplicando fila por columna (el mismo cálculo que vas a practicar abajo). El producto matricial tiene un significado económico directo: si A es la matriz de coeficientes técnicos (cuánto insumo de cada sector se necesita por unidad producida) y x es el vector de producción de cada sector, el producto A × x da el total de insumos requeridos en toda la economía, la base de las matrices insumo-producto que formalizó el economista Wassily Leontief.

Preguntas para pensar

• Si tuvieras que construir una matriz insumo-producto real para la economía boliviana, ¿qué fuente institucional buscarías para conseguir esos datos?
• ¿Por qué crees que la matriz identidad I se comporta, en el álgebra matricial, de forma parecida a como el número 1 se comporta en la multiplicación de números comunes?
• Con lo que viste en C.1: ¿qué propiedades de la relación 'provee insumos a' (no reflexiva, no simétrica, no necesariamente transitiva) esperarías ver reflejadas en la forma de la matriz (por ejemplo, en su diagonal)?
• Wassily Leontief ganó el Premio Nobel de Economía por formalizar el modelo insumo-producto usando álgebra matricial. ¿Por qué crees que representar una economía completa como una matriz es más útil que describir cada relación sector-por-sector en prosa?