Combinaciones y el teorema del binomio

Cuando el orden deja de importar

En E.1 calculaste que hay A(9,3) = 504 formas de elegir y ordenar 3 de los 9 departamentos bolivianos (por ejemplo, para un itinerario de visita donde el orden afecta la logística). Ahora cambia la pregunta: un organismo de control necesita elegir 3 departamentos para una auditoría este año. El orden en que se los nombra no importa en absoluto: auditar {La Paz, Oruro, Potosí} es exactamente lo mismo que auditar {Potosí, La Paz, Oruro}.

¿Cuántos grupos distintos de 3 departamentos existen, si ya no importa el orden? El número tiene que ser menor a 504, porque muchos de esos 504 arreglos son, en realidad, el mismo grupo de 3 departamentos, solo que listado en órdenes distintos.

Combinación: elegir sin ordenar

Una combinación de r elementos tomados de un conjunto de n es una selección de r elementos donde el orden no importa. El número de combinaciones posibles es: C(n,r) = n! / (r! (n−r)!) = A(n,r) / r!

La fórmula parte exactamente del arreglo A(n,r) que ya conoces, pero lo divide entre r!, porque cada grupo de r elementos, sin importar el orden, se puede ordenar internamente de r! formas distintas, y todas esas r! variantes se cuentan como un solo grupo en la combinación. Para el problema de las 3 auditorías: C(9,3) = A(9,3) / 3! = 504 / 6 = 84.

El teorema del binomio

El teorema del binomio usa exactamente estos mismos coeficientes C(n,r), llamados por eso coeficientes binomiales, para expandir una potencia de un binomio sin tener que multiplicar término por término:

(a + b)ⁿ = Σ (desde k=0 hasta n) de C(n,k) · a^(n−k) · b^k

El término general de ese desarrollo es C(n,k) · a^(n−k) · b^k, y permite calcular directamente un término específico del desarrollo sin expandir todos los demás. Por ejemplo, (a+b)³ = C(3,0)a³ + C(3,1)a²b + C(3,2)ab² + C(3,3)b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: los coeficientes 1, 3, 3, 1 son exactamente C(3,0), C(3,1), C(3,2), C(3,3).

Preguntas para pensar

• Volviendo a la pregunta que quedó pendiente en E.1: ahora que calculaste C(9,3) = 84, ¿puedes explicar con tus propias palabras por qué es menor que A(9,3) = 504, sin usar la fórmula, solo con la idea de 'grupos repetidos por el orden'?
• Piensa en una decisión económica real donde convenga usar una combinación (el orden no importa) en vez de un arreglo (el orden sí importa). Por ejemplo, elegir una cartera de 3 acciones de un conjunto de 10 disponibles.
• ¿Por qué crees que C(n,0) = 1 y C(n,n) = 1 siempre, sin importar el valor de n? Intenta justificarlo con la definición, no solo con la fórmula.
• El teorema del binomio tiene aplicaciones en probabilidad (que vas a ver en otra materia). ¿Se te ocurre alguna razón por la que 'elegir k éxitos de n intentos posibles' se parezca a elegir un subconjunto de un conjunto?