Álgebra de funciones y composición

Restar funciones, no solo números

En C.4 del módulo de Economía General usaste la idea de que el beneficio de una empresa es su ingreso total menos su costo total: Beneficio = IT − CT. Tanto IT como CT dependen de la cantidad producida (x): son funciones de x, no números fijos. Cuando escribes Beneficio(x) = IT(x) − CT(x), en realidad estás construyendo una función nueva, a partir de restar dos funciones ya conocidas. Esa operación, combinar funciones para crear una nueva, tiene reglas precisas.

Suma, resta, producto y cociente de funciones

Dadas dos funciones f y g con el mismo dominio (o un dominio en común), se definen:

- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f − g)(x) = f(x) − g(x)
- (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- (f / g)(x) = f(x) / g(x), válida solo donde g(x) ≠ 0

La función de beneficio del problema inicial es, exactamente, (IT − CT)(x): la función resta de IT y CT, evaluada en cada nivel de producción x.

Composición de funciones: una función dentro de otra

La composición de dos funciones, (f ∘ g)(x) = f(g(x)), significa aplicar primero g, y usar su resultado como entrada de f. No es lo mismo que multiplicar funciones: es encadenarlas.

Un ejemplo económico natural: si Q(L) es la cantidad producida en función del trabajo contratado L (una función de producción, como viste en C.2), y CT(Q) es el costo total en función de la cantidad producida (como en C.3), entonces (CT ∘ Q)(L) = CT(Q(L)) da el costo total directamente en función del trabajo contratado, sin tener que calcular la cantidad producida como un paso separado cada vez. La composición encadena dos relaciones que ya conocías por separado en una sola función combinada.

Preguntas para pensar

• Con lo que viste en C.3 y C.4 (costo marginal, ingreso marginal), ¿qué otra función combinada te parecería útil construir a partir de funciones que ya conoces (por ejemplo, el margen de ganancia como Beneficio(x) / IT(x))?
• ¿Puedes pensar en otra cadena de composición económica real (una función cuyo resultado sea la entrada de otra)? Por ejemplo, algo relacionado con el tipo de cambio, la inflación, o el PIB del módulo de Economía General.
• Si el costo fijo de una empresa sube (por ejemplo, de 100 a 150 en el ejemplo del graficador), ¿cómo cambiaría el punto de equilibrio de la función de beneficio? Intenta calcularlo antes de verificarlo.
• ¿Por qué crees que la composición de funciones es tan común en economía, donde casi todo depende de casi todo (el costo depende de la cantidad, que depende del trabajo, que depende del salario)?