Definición, dominio, rango y clasificación de funciones

No cualquier relación es una función

En B.2 del módulo de Economía General usaste la ecuación de demanda Qd = 500 − 20P: para cada precio P, existe una única cantidad demandada Qd. Esa es la característica que convierte a esa relación en algo más específico y más útil: una función.

Compara esto con la relación 'provee insumos a' que viste en C.1: un sector puede proveer insumos a varios sectores distintos a la vez, sin ninguna restricción. La curva de demanda no funciona así: a cada precio le corresponde una y solo una cantidad. ¿Qué es exactamente lo que hace que una relación sea, además, una función?

Función: una relación con una restricción extra

Una función f de un conjunto A (dominio) a un conjunto B (codominio) es una relación especial: a cada elemento de A le corresponde exactamente un elemento de B. Esta es la diferencia con una relación cualquiera (C.1): en una relación general, un elemento del dominio puede relacionarse con varios elementos a la vez, o con ninguno; en una función, cada elemento del dominio tiene una imagen, y solo una.

Qd = 500 − 20P es una función porque, dado cualquier precio P, la fórmula entrega un único valor de Qd: nunca dos valores distintos para el mismo precio.

Dominio y rango de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores de entrada (x) para los que la función está definida. El rango (o imagen) es el conjunto de todos los valores de salida (y = f(x)) que efectivamente se producen. En el caso de Qd = 500 − 20P, el dominio con sentido económico no es "todos los números reales": un precio negativo no tiene sentido, así que el dominio económicamente relevante es P ≥ 0, y, además, Qd tampoco puede ser negativa, lo que impone P ≤ 25 (donde Qd llega a cero). El dominio matemático de la fórmula es más amplio que su dominio económicamente razonable, una distinción que vale la pena tener siempre presente.

Clasificación de funciones: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva

Una función f: A → B es:

- Inyectiva (uno a uno): elementos distintos del dominio siempre producen imágenes distintas, nunca dos valores de x dan el mismo f(x). Qd = 500 − 20P es inyectiva: precios distintos siempre dan cantidades demandadas distintas.
- Sobreyectiva (sobre): todo elemento del codominio B es imagen de al menos un elemento del dominio, no queda ningún valor de B "sin usar".
- Biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Cuando una función es biyectiva, tiene una función inversa bien definida; por eso, en B.2, siempre pudiste "despejar" P a partir de Qd sin ambigüedad: la función de demanda, restringida a su dominio económico, es biyectiva entre precios y cantidades.

Preguntas para pensar

• Piensa en otra relación económica que ya conozcas (costo total en función de la cantidad producida, de C.3) y verifica: ¿es realmente una función? ¿Es inyectiva?
• ¿Por qué crees que el dominio 'matemático' de una fórmula (todos los reales donde la fórmula tiene sentido) casi nunca coincide con el dominio 'económicamente razonable'?
• Si una función de oferta y una de demanda son ambas biyectivas en su dominio relevante, ¿qué garantiza eso sobre la posibilidad de encontrar un único precio de equilibrio?
• ¿Se te ocurre una relación económica real que NO sea una función (donde un mismo valor de entrada tenga más de una salida posible)?