Relaciones de equivalencia y de orden

Agrupar no es lo mismo que ordenar

Como viste en A.5 del módulo de Economía General, en 2023 Bolivia exportó (en millones de USD) oro por 2.496,0; gas natural por 2.049,7; zinc por 1.326,5; soya por 1.188,5; y plata por 997,6. Con estos cinco productos se pueden construir dos relaciones completamente distintas: "pertenecer al mismo tipo de producto que" (que agrupa: oro-zinc-plata son minerales; gas es hidrocarburo; soya es agrícola) y "exportarse por un valor mayor o igual que" (que ordena: oro ≥ gas ≥ zinc ≥ soya ≥ plata).

La primera reparte los productos en grupos sin jerarquía interna. La segunda los pone en fila, del mayor al menor. Ambas son relaciones binarias, como viste en C.1, pero cumplen propiedades distintas, y por eso reciben nombres distintos: relación de equivalencia y relación de orden.

Relación de equivalencia: agrupar sin jerarquía

Una relación R sobre un conjunto A es una relación de equivalencia si es, a la vez, reflexiva (todo elemento se relaciona consigo mismo), simétrica (si x se relaciona con y, y se relaciona con x) y transitiva (si x se relaciona con y, y con z, entonces x se relaciona con z). "Pertenecer al mismo tipo de producto que" cumple las tres: cada producto es del mismo tipo que sí mismo (reflexiva); si el oro es del mismo tipo que la plata, la plata es del mismo tipo que el oro (simétrica); y si el oro es del mismo tipo que la plata, y la plata del mismo tipo que el zinc, entonces el oro es del mismo tipo que el zinc (transitiva).

Una relación de equivalencia divide al conjunto en clases de equivalencia: grupos donde todos los elementos están relacionados entre sí, y ningún elemento pertenece a dos grupos distintos a la vez. En el ejemplo, las clases son {oro, zinc, plata} (minerales), {gas natural} (hidrocarburos) y {soya} (agrícola): una partición completa del conjunto original.

Relación de orden: poner en fila

Una relación R sobre A es una relación de orden si es reflexiva, antisimétrica (si x se relaciona con y, y y se relaciona con x, entonces x = y) y transitiva. "Exportarse por un valor mayor o igual que" (≥) cumple las tres: todo valor es mayor o igual que sí mismo (reflexiva); si el valor de A es ≥ que el de B, y el de B es ≥ que el de A, entonces A y B valen exactamente lo mismo (antisimétrica); y si A ≥ B y B ≥ C, entonces A ≥ C (transitiva).

Cuando, además, cualquier par de elementos del conjunto se puede comparar entre sí (no quedan pares "sueltos" sin relación), se dice que es un orden total, como en el ranking de los cinco productos exportados, donde siempre se puede decir cuál vale más entre cualquier par.

Preguntas para pensar

• Piensa en otra relación de equivalencia real entre estudiantes de tu carrera (por ejemplo, 'estar en el mismo semestre que'). ¿Qué clases de equivalencia genera?
• ¿Existe alguna relación económica que sea tanto de equivalencia como de orden a la vez? (Pista: piensa si es posible que una relación sea simétrica y antisimétrica simultáneamente, y qué tendría que cumplirse para eso.)
• Con los mismos 5 productos de exportación, ¿podrías construir una relación de orden que NO sea total (es decir, donde algunos pares de productos no se puedan comparar entre sí)? ¿Qué criterio usarías?
• ¿Cómo se conecta la idea de 'clases de equivalencia' con el concepto de clase-etnia que viste en el módulo de Historia Económica de América Latina? ¿Son la misma idea de 'clase', o son completamente distintas?