Relación binaria, dominio, rango y propiedades

Quién le vende insumos a quién

Ningún sector de la economía produce de forma aislada. El sector agropecuario provee alimentos e insumos al sector industrial (por ejemplo, soya para producir aceite, como viste en A.5 del módulo de Economía General); el sector industrial provee materiales al sector de la construcción; el sector de servicios provee electricidad y transporte prácticamente a todos los demás.

Esta red de "quién provee insumos a quién" no es un dibujo suelto: es, formalmente, una relación entre los sectores de la economía. Vas a volver a esta misma idea en la Sección F, cuando estudies matrices, porque las llamadas matrices insumo-producto son exactamente la forma de escribir esta relación con números.

Relación binaria: un subconjunto del producto cartesiano

Dado el conjunto de sectores S = {agropecuario, industrial, construcción, servicios}, una relación binaria R sobre S es, formalmente, un subconjunto de S × S (el producto cartesiano que viste en B.3): R ⊆ S × S. Cada par ordenado (x, y) ∈ R significa "x se relaciona con y", en este caso, "x provee insumos a y". Por ejemplo, si el sector agropecuario provee insumos al industrial, el par (agropecuario, industrial) ∈ R.

Dominio y rango de una relación

El dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de sus pares ordenados: en el ejemplo, todos los sectores que proveen insumos a algún otro. El rango (o imagen) es el conjunto de todos los segundos elementos: todos los sectores que reciben insumos de algún otro. Un mismo sector puede estar en el dominio y en el rango a la vez: el sector industrial provee insumos (está en el dominio) y también los recibe (está en el rango) del sector agropecuario y del de servicios.

Propiedades de una relación definida en un conjunto

Cuando una relación R está definida dentro de un mismo conjunto (R ⊆ S × S), tiene sentido preguntarse si cumple ciertas propiedades.

- Reflexiva: todo elemento se relaciona consigo mismo, (x, x) ∈ R para todo x. La relación "provee insumos a" normalmente no es reflexiva: un sector no se provee insumos a sí mismo en el mismo sentido (aunque, en la práctica input-output real, sí existe autoconsumo intersectorial, que es justamente una de las sutilezas que hace interesante a la matriz insumo-producto).
- Simétrica: si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R también. "Provee insumos a" generalmente no es simétrica: que agropecuario provea a industrial no implica que industrial provea a agropecuario (aunque en los hechos podría ocurrir en ambos sentidos, no es una regla necesaria de la relación).
- Antisimétrica: si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R, entonces x = y (no puede haber dos elementos distintos relacionados en ambos sentidos).
- Transitiva: si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R. Si agropecuario provee a industrial, e industrial provee a construcción, la transitividad exigiría que agropecuario provea directamente a construcción, lo cual no necesariamente es cierto: la transitividad es una propiedad que hay que verificar, no asumir.

Preguntas para pensar

• Piensa en otra relación económica real (por ejemplo, 'exporta a', 'es cliente de', 'compite con'). ¿Es simétrica, antisimétrica, o ninguna de las dos, en general?
• ¿Por qué crees que la propiedad de transitividad es tan poco frecuente en relaciones económicas reales, aunque parezca intuitiva a primera vista?
• Si tuvieras que representar la relación 'provee insumos a' entre 4 sectores mediante una tabla (filas = sectores que proveen, columnas = sectores que reciben), ¿qué forma tendría esa tabla? (Vas a volver a esto en la Sección F.)
• ¿Qué otras dos 'cosas' bolivianas, no necesariamente sectores económicos, te gustaría relacionar con una relación binaria, y qué propiedades (reflexiva, simétrica, transitiva) esperarías que tuviera?