Conjunto de partes y producto cartesiano

No son solo 3 opciones, son muchas combinaciones

Un gobierno evalúa tres medidas económicas posibles ante una crisis: subsidiar un bien esencial, imponer un control de precios, o subir aranceles a las importaciones. La pregunta "¿cuál de las tres implementamos?" en realidad esconde una pregunta mucho más grande: no hay que elegir solo una, se puede elegir cualquier combinación, ninguna, una sola, dos, o las tres juntas. ¿Cuántas combinaciones distintas hay en total, sin repetir ninguna y sin olvidar ninguna?

El conjunto de partes: todos los subconjuntos posibles

El conjunto de partes de un conjunto A, escrito P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de A, incluyendo el conjunto vacío ∅ y el propio A. Si A = {subsidio, control, arancel}, algunos elementos de P(A) son: ∅ (no implementar ninguna), {subsidio}, {control}, {arancel}, {subsidio, control}, {subsidio, arancel}, {control, arancel}, y {subsidio, control, arancel} (las tres juntas).

Si A tiene n elementos, entonces |P(A)| = 2ⁿ. La razón es que, para construir cada subconjunto, cada uno de los n elementos tiene exactamente dos destinos posibles: entra o no entra en el subconjunto, 2 opciones, multiplicadas n veces (2 × 2 × ... × 2, n veces).

Producto cartesiano: combinar dos conjuntos en pares ordenados

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Es distinto del conjunto de partes: acá no se combinan elementos de un mismo conjunto, sino que se cruza cada elemento de A con cada elemento de B.

Por ejemplo, si una encuesta de hogares clasifica por Área = {urbano, rural} y Condición laboral = {formal, informal}, el producto cartesiano Área × Condición laboral da los 4 pares ordenados posibles: (urbano, formal), (urbano, informal), (rural, formal), (rural, informal): las 4 categorías cruzadas que la encuesta necesita distinguir. Si |A| = m y |B| = n, entonces |A × B| = m × n.

Preguntas para pensar

• Si fueras el asesor del gobierno del problema inicial, ¿cómo usarías el conjunto de partes P(A) para organizar sistemáticamente la evaluación de las 8 combinaciones posibles de medidas?
• Piensa en una encuesta o censo boliviano real (por ejemplo, el Censo de Población y Vivienda). ¿Qué categorías cruzadas (productos cartesianos) usa para clasificar a la población?
• ¿Por qué crees que el conjunto de partes crece exponencialmente (2ⁿ) y no de forma lineal? Intenta explicarlo con tus propias palabras, sin usar la fórmula.
• Con lo que viste en E (Combinatoria, más adelante en este módulo): ¿te parece que el conjunto de partes tiene alguna relación con 'contar de cuántas formas se puede elegir un subgrupo'? Vuelve a esta pregunta cuando llegues a esa sección.