Diagramas de Venn-Euler y operaciones con conjuntos

Contar sin duplicar ni olvidar a nadie

Ejemplo ilustrativo, con números elegidos para el ejercicio. Un municipio boliviano tiene 1.000 hogares. Un estudio identifica que 400 hogares están en situación de pobreza (conjunto P) y 350 hogares están en el área rural (conjunto R). Si alguien simplemente sumara 400 + 350 = 750 para estimar cuántos hogares son "pobres o rurales", probablemente estaría contando dos veces a los hogares que son ambas cosas a la vez.

¿Cómo se calcula, con exactitud, cuántos hogares son pobres, rurales, ambas cosas, o ninguna, sin caer en ese error de doble conteo?

Unión, intersección, diferencia y complemento

Dado un universo U (los 1.000 hogares del municipio) y dos conjuntos P (pobres) y R (rurales), las operaciones básicas son:

- Unión (P ∪ R): hogares que están en P, en R, o en ambos: "pobres o rurales".
- Intersección (P ∩ R): hogares que están en P y en R a la vez: "pobres y rurales".
- Diferencia (P − R): hogares que están en P pero no en R: "pobres, pero no rurales".
- Complemento (Pᶜ, respecto al universo U): hogares que no están en P: "no pobres".

El principio de inclusión-exclusión

La fórmula que evita el doble conteo del problema inicial es: |P ∪ R| = |P| + |R| − |P ∩ R|. Se suman ambos conjuntos y se resta la intersección, precisamente porque los elementos de la intersección se contaron dos veces al sumar |P| + |R|, una vez dentro de P y otra dentro de R.

Las leyes de De Morgan, otra vez — ahora para conjuntos

Como viste en A.2 para la lógica proposicional, las leyes de De Morgan también aplican a conjuntos, con la misma estructura.

(P ∪ R)ᶜ = Pᶜ ∩ Rᶜ → "no ser pobre ni rural" es lo mismo que "no ser pobre, y no ser rural".

(P ∩ R)ᶜ = Pᶜ ∪ Rᶜ → "no ser (pobre y rural) a la vez" es lo mismo que "no ser pobre, o no ser rural".

No es una coincidencia de notación: la unión de conjuntos se comporta como la disyunción lógica (∨), la intersección como la conjunción (∧), y el complemento como la negación (¬); por eso las mismas leyes valen en ambos lenguajes.

Preguntas para pensar

• Si conocieras las cifras reales de pobreza y ruralidad de un municipio boliviano específico (búscalas si puedes, en el INE), ¿cómo cambiaría tu estimación de 'pobres o rurales' respecto al ejemplo ilustrativo de este tema?
• ¿Qué otras dos categorías socioeconómicas bolivianas (además de pobreza y ruralidad) te parecería interesante cruzar con este mismo método?
• El principio de inclusión-exclusión que viste acá, ¿cómo se extendería si en vez de dos conjuntos (P y R) tuvieras tres (por ejemplo, agregando 'hogares sin acceso a agua potable')? Intenta escribir la fórmula.
• ¿En qué se parece la intersección de conjuntos (P ∩ R) a la conjunción lógica (p ∧ q) que viste en A.1? ¿Puedes explicar la analogía con tus propias palabras?