Funciones proposicionales y cuantificadores

'Todo' y 'existe' no son intercambiables

En el debate sobre el salario mínimo, que ya rozaste en B.5 y D.2 del módulo de Economía General, es común escuchar dos tipos de afirmaciones muy distintas: "todo aumento del salario mínimo genera desempleo" (una afirmación fortísima, sobre todos los casos posibles) y "existe algún caso donde un aumento del salario mínimo generó desempleo" (una afirmación mucho más débil, que solo pide un ejemplo).

La primera se derrumba con un solo contraejemplo documentado. La segunda sobrevive aunque existan mil casos donde no pasó nada. Confundir una con otra, tratarlas como si dijeran lo mismo, es uno de los errores de razonamiento más comunes en el debate económico público, y la lógica tiene un nombre preciso para la diferencia.

Función proposicional: una afirmación con un hueco

Una función proposicional p(x) es un enunciado que contiene una variable (x), y que se convierte en una proposición verdadera o falsa recién cuando x se reemplaza por un valor concreto. "x genera desempleo" no es, por sí sola, verdadera ni falsa: depende de qué aumento salarial específico se ponga en el lugar de x. Cuando x = "el aumento del salario mínimo en Bolivia de 2023", la función proposicional se convierte en una proposición concreta, verificable.

Cuantificador universal (∀) y existencial (∃)

Los cuantificadores convierten una función proposicional en una proposición completa, sin necesidad de fijar un valor específico de x, indicando para cuántos elementos del dominio se cumple.

- Cuantificador universal: ∀x, p(x): "para todo x, se cumple p(x)". Es una afirmación fuerte: basta un solo contraejemplo para volverla falsa.
- Cuantificador existencial: ∃x, p(x): "existe al menos un x tal que se cumple p(x)". Es una afirmación débil: un solo ejemplo alcanza para volverla verdadera, y para volverla falsa hace falta descartar todos los casos posibles.

"Todo aumento del salario mínimo genera desempleo" es ∀x, p(x). "Existe un aumento del salario mínimo que generó desempleo" es ∃x, p(x). No son la misma afirmación, y exigen evidencia completamente distinta para sostenerse.

Negar un cuantificador: otra vez De Morgan

Negar una afirmación cuantificada sigue una regla precisa, hermana de las leyes de De Morgan que viste en A.2.

¬(∀x, p(x)) ≡ ∃x, ¬p(x) → "no es cierto que para todo x se cumpla p(x)" equivale a "existe al menos un x donde no se cumple p(x)" (es decir, un contraejemplo).

¬(∃x, p(x)) ≡ ∀x, ¬p(x) → "no existe ningún x que cumpla p(x)" equivale a "para todo x, no se cumple p(x)".

Por eso, para refutar "todo aumento del salario mínimo genera desempleo", alcanza con un solo contraejemplo documentado: es exactamente la lógica de ¬∀ ≡ ∃¬ en acción.

Preguntas para pensar

• Busca una afirmación económica que hayas escuchado o leído recientemente y que use 'todo', 'todos', 'ningún', o 'siempre'. ¿Es realmente una afirmación universal defendible, o alcanzaría con reformularla como existencial?
• ¿Por qué crees que en el debate público se usan tan seguido afirmaciones universales ('todo', 'nunca'), si son mucho más fáciles de refutar que las existenciales?
• Piensa en una política económica boliviana real. ¿Puedes formular una versión universal y una existencial de un argumento a favor o en contra?
• ¿Cómo se conecta este tema con lo que viste en A.7 del módulo de Economía General sobre economía positiva y normativa? ¿Los cuantificadores aplican mejor a un tipo de afirmación que al otro?